IV. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ. ОБОБЩЕНИЯ

В § 78, 79 был изложен один из общих методов решения основных граничных задач плоской теории упругости для односвязных областей. В настоящем отделе мы даем краткие сведения о некоторых других общих методах (пригодных также для многосвязных областей), ограничиваясь лишь теми, которые либо представляют собой обобщение методов, изложенных в предыдущих отделах настоящей главы, либо так или иначе тесно связаны с ними.

Подробно, с полными доказательствами, мы излагаем лишь новый метод Д. И. Шермана (§ 101, 102) решения первой и второй основных задач.

В конце отдела (§ 104) мы указываем некоторые другие общие задачи теории упругости, к которым могут быть применены аналогичные методы.

§ 96. Об интегральных уравнениях С. Г. Михлина.

Метод приведения основных задач к интегральным уравнениям, изложенный в § 79, не применим непосредственно к многосвязным областям, так как он требует конформного отображения рассматриваемой области на круг, а такое отображение (взаимно однозначное) невозможно, если данная область многосвязна.

Однако С. Г. Михлину удалось видоизменить упомянутый метод так, что он становится применимым и к случаю многосвязных областей. Сущность этого видоизменения заключается в следующем. Как известно, задача конформного отображения на круг области ограниченной одним простым замкнутым контуром эквивалентна нахождению так называемой функции Грина для этой области, т. е. действительной функции определяемой так:

1°. - регулярная гармоническая функция во всей области кроме данной точки где она имеет логарифмическую особенность. Точнее:

где расстояние между точками и регулярная гармоническая функция.

2°. Граничное значение равно нулю на

Если гармоническая функция, сопряженная с то аналитическая функция комплексного переменного z

где называется комплексной функцией Грина. Как показывает предыдущая формула, функция многозначна благодаря присутствию логарифмического члена.

Так как комплексная функция Грина, кроме z, зависит также от то вместо целесообразнее писать

То обстоятельство, что задача нахождения функции Грина эквивалентна, как было сказано, задаче конформного отображения данной области на круг, позволяет так видоизменить метод, изложенный в § 78, 79, что применение конформного отображения заменяется рассмотрением функции

С другой стороны, понятие функции Грина, как действительной, так и комплексной, применимо и к многосвязным областям, ограниченным несколькими контурами. Поэтому только что упомянутый метод может быть обобщен на случай многосвязных областей.

Этим путем С. Г. Михлин привел первую и вторую основные задачи плоской теории упругости для многосвязных областей к интегральным

уравнениям Фредгольма, несколько более сложным (как и следовало ожидать), чем уравнения § 79 (применимые лишь к односвязным областям), но вполне пригодным для общих исследований, в частности для доказательства теорем существования, что и сделано в ряде работ С. Г. Михлина [1—3, 7, 9]. Мы отсылаем читателей к этим работам, а также к книге [13] того же автора, в которой дано достаточно полное изложение результатов.

Кроме первой и второй задач для многосвязных областей, С. Г. Михлин решил своим методом и другие граничные задачи, представляющие большой интерес, как, например, задачи об упругом равновесии тел, определенным образом составленных из различных однородных частей с различными упругими постоянными (имеется в виду плоский случай); этим последним задачам посвящена работа С. Г. Михлина [10], а некоторые частные случаи рассмотрены элементарным путем в уже упоминавшейся его статье [8].