VII. КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ БРУСЬЕВ

За время, прошедшее после выхода предыдущего издания этой книги, появилось довольно значительное число работ, продолжавших исследование кручения и изгиба призматических брусьев. Мы ограничимся лишь краткой информацией об этих работах, имея в виду, что в самое последнее время вышла книга Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [1], специально посвященная проблемам кручения упругих тел, содержащая подробный обзор литературы. Следует также отметить монографии Цан Вэй-чана, Линь Хун-суня, Ху Хай-чана и Е Кай-юаня [1] и Вебера и Гюнтера (Weber u. Gunther [1]), посвященные проблемам кручения стержней.

§ 167. Однородные брусья.

Как было показано в § 132 настоящей книги, решение задачи кручения призматического бруса, который имеет продольные (цилиндрические) полости, можно свести к отысканию гармонической в области сечения функции по граничному условию

( составляют полную границу сечения) или, что то же самое, к отысканию однозначной аналитической функции так называемая комплексная функция кручения) по граничному условию

действительные постоянные, одну из которых можно зафиксировать произвольно.

Аналогично задачу изгиба поперечной силой для таких брусьев можно свести (§ 138) к отысканию аналитической (вообще говоря, неоднозначной) функции по граничному условию

где действительные постоянные, одну из которых можно зафиксировать произвольно, а заданные функции:

Д. И. Шерман предложил метод эффективного решения этих задач для двусвязных областей определенного вида, заключающийся в следующем: на одном из контуров, ограничивающих область сечения, вводится вспомогательная функция, для определения которой строится интегральное уравнение типа Фредгольма, которое затем решается при помощи разложения вспомогательной функции в ряд по степеням параметра, характеризующего частично размеры сечения, главным образом сравнительную близость граничных контуров; для решения задачи с высокой степенью точности оказалось достаточным найти незначительное число приближений. В работах Д. И. Шермана [40], [41], [44-47], Д. И. Шермана и М. 3. Народецкого [1] этим методом решены задачи кручения и изгиба брусьев, поперечные сечения которых являются двусвязными областями, ограниченными окружностью и эллипсом, окружностью и квадратом с закругленными вершинами, неконфокальными эллипсами и т. п. В работе Р. Д. Степанова и Д. И. Шермана [1] изучено кручение круглого бруса, ослабленного двумя продольными цилиндрическими круговыми полостями. В работе Д. И. Шермана [43] изучены бесконечные системы линейных уравнений, построенные для решения задач, рассмотренных в упомянутых выше работах (Шерман [40], Степанов и Шерман [1]).

Этому же кругу вопросов (кручению и изгибу брусьев, поперечными сечениями которых являются двусвязные области) посвящены работы: Амензаде [1—4, 6—9], Бахтияров [1], Исмаилов [1] и др.

В работе Якоба (Jacob [1]) задача кручения трактуется как видоизмененная задача Дирихле, решение которой было дано в работах Якоба и Мусхелишвили; в той же работе задача кручения решена в явном виде (в квадратурах) для кругового цилиндра, имеющего радиальные трещины.

Как было указано в § 134 настоящей книги, задача кручения может считаться решенной, если (в случае односвязной области) мы сумеем отобразить область сечения на круг. В этом направлении отметим работы: А. В. Батырева [1], Е. А. Ширяева [1, 2], Басали (Bassali [3]), Гамбургера, Динка, Маня (Hamburger, Dinca, Manea [1]), Герцига (Herzig [1]) и др., в которых задача кручения решается для односвязных областей частного вида; иногда для этой цели удобно использовать отображение на полукруг; см. работы Дейча (Deutsh [1, 2, 5])ЧВ случае двусвязной области такую же существенную роль играет отображение на круговое кольцо (причем часто задача решается приближенно путем приближенного построения функции, реализующей конформное отображение).

М. И. Найман [2] решил задачу о кручении кругового цилиндра, имеющего отверстие в виде правильного прямолинейного многоугольника с закругленными вершинами, используя отображения, указанные выше

в § 154. В работе О. И. Бабаковой [2] решается задача о кручении полого стержня с использованием приближенного конформного отображения на кольцо двусвязной области определенного вида, построенного автором в другой работе (Бабакова [1]).

К этому же кругу вопросов относятся работы: J1. К. Капаняна [1], Г. А. Тирского [1], В. Н. Яковлевой [1-3], Динка и Бойку (Dinca, Boicu [1]), Дейча (Deutsh [3]), Морриса и Хоули (Morris a. Hawley II]) и др.

В работах Угодчикова [7, 8] дается метод решения задач кручения брусьев с односвязным и двусвязным сечениями, связанный с электромоделированием конформного отображения.

Милн-Томсон (Milne-Thomson [2]), исходя непосредственно из равенств вида (8) § 138, изучил задачу изгиба, сведя ее к отысканию однозначной аналитической функции по граничному условию

где известные постоянные.

К этой работе Милн-Томсона примыкают работы Соломона (Solomon [1, 2]) и Дейча (Deutsh [4, 6]).