§ 103. О решении основной смешанной задачи и некоторых других граничных задач по способу Д. И. Шермана.

Способ, изложенный в предыдущем параграфе, может быть с успехом перенесен на решение некоторых других важных граничных задач.

Назовем в первую очередь основную смешанную задачу. Эта задача для областей того же вида, что и в предыдущем параграфе, решена Д. И. Шерманом [17], который пользуется в этом случае тем же представлением функций что и в случае второй основной задачи, т. е. представлением (20), (21) § 102. Однако на этот раз интегральное уравнение, к которому непосредственно приводит указанное представление, уже не является уравнением Фредгольма, а принадлежит к одному классу сингулярных интегральных уравнений, изученному

впоследствии Г. Ф. Манджавидзе [1, 2]. Сам Д. И. Шерман, не разрабатывая общей теории упомянутого класса сингулярных уравнений, указывает без детального исследования способ решения, основанный на приведении к уравнению Фредгольма. Непосредственное же полное исследование сингулярного уравнения Д. И. Шермана дано Г. Ф. Манджавидзе [2] при помощи им же разработанной общей теории, упомянутой выше. Подробное изложение этого исследования дано в гл. V второго издания моей книги [25].

Методом, аналогичным предыдущему, Д. И. Шерман [20] дал новое, более простое, чем данное С. Г. Михлиным [10] и им самим [8], решение первой основной задачи для тела, определенным образом составленного из нескольких однородных частей с различными упругими постоянными; об этой задаче (а также о соответствующей второй основной задаче) уже упоминалось в § 96 и 98.

Наконец, Д. И. Шерман [22] дал (при помощи метода, аналогичного предыдущему) общее решение следующей задачи. Пусть область такого же вида, что и в предыдущем параграфе. Требуется найти упругое равновесие (однородного) тела, заполняющего если на границе области заданы нормальная компонента смещения и касательная компонента внешнего напряжения. При эта задача представляет собой задачу о соприкасании рассматриваемого тела с жесткими профилями вдоль границы при отсутствии трения. В следующей главе будет приведено решение этой последней задачи для того случая, когда область односвязна и отображается на круг при помощи рациональной функции, как об этом было уже упомянуто в § 88, п. 2.

Отметим, наконец, что аналогичные методы применяются к задачам равновесия пластинки, подверженной нормальной к ее плоскости нагрузке, при различных граничных условиях: когда края пластинки заделаны, свободны или оперты, а также когда на различных частях границы задаются различные условия, соответствующие указанным только что случаям. Мы ограничимся здесь ссылкой на следующие основные работы: Халилов [1], Манджавидзе [2], Каландия [1, 2, 4], Фридман [2]. См. также второе издание книги автора [25], гл.