§ 119. Задача соприкасания двух упругих тел (обобщенная плоская задача Герца).

Рассмотрим два упругих тела близких по форме к полуплоскостям, соприкасающихся вдольучастков их границ (рис. 55). Участок соприкасания не задан заранее и подлежит определению. Заранее заданы: форма границ (близких к прямолинейным) до деформации и главный вектор внешних сил, прижимающих, скажем, тело к телу Считается, что трение отсутствует. Кроме того, считается, что напряжения и вращения для равны нулю на бесконечности.

Рис. 55.

Эта задача, представляющая большой самостоятельный интерес, важна еще потому, что она решает задачу о соприкасании двух тел произвольной формы (здесь имеется в виду двумерный случай), если участок соприкасания весьма мал по сравнению с размерами тел; тогда, если нас интересуют напряжения и деформации вблизи места контакта, мы можем без заметной погрешности считать, что рассматриваемые тела близки по форме к полуплоскостям.

В трехмерном случае задача соприкасания двух упругих тел была впервые поставлена и решена Герцем при некоторых ограничительных допущениях, в частности при допущении, что площадка соприкасания весьма мала и что уравнения недеформированных поверхностей вблизи места соприкасания могут быть с достаточным приближением представлены в виде при подходящем выборе осей координат.

Таким образом, сформулированная выше задача соприкасания двух тел, близких к полуплоскостям, представляет собой двумерный аналог задачи Герца, но несколько обобщенный, так как мы не считаем участок соприкасания малым и в соответствии с этим не делаем никаких допущений

относительно формы границ, кроме условия, что они близки к прямой (и достаточно гладкие).

Эта задача рассматривалась несколькими авторами. И. Я. Штаерман [1, 3] приводит ее к уравнению Фредгольма первого рода (пишем его в наших обозначениях):

где искомое давление одного тела на другое в точке участка соприкасания тел, заданная функция. К такому же точно уравнению приводится задача давления жесткого штампа на упругую полуплоскость, как это было сделано во втором издании настоящей книги (§ 87); уравнение это легко решается в квадратурах (см. там же, § 88) при заданных

А. В. Бицадзе [1] приводит эту задачу к сингулярному интегральному уравнению, явное решение которого находится сразу.

Ниже приводится решение задачи методом, вполне аналогичным тому, которым мы решили задачу в случае, когда одно из соприкасающихся тел абсолютно жесткое (§ 115).

Будем считать, что тело занимает нижнюю полуплоскость а тело верхнюю и будем отмечать соответственно значками 1 и 2 компоненты напряжения и смещения, а также постоянные относящиеся к

Пусть кусочно-голоморфная функция, соответствующая телу и определенная так, как в § 112; пусть такая же функция для тела эти функции голоморфны на всей плоскости, за исключением отрезка оси ибо границы тел свободны от внешних напряжений вне этого отрезка. Ввиду того, что по условию трение отсутствует, будем иметь на отсюда, как в § 115, заключаем, что точно так же заключаем, что Если, далее, обозначает давление одного тела на другое в точке то, как в § 115,

совершенно аналогично

Сравнивая эти равенства, получаем, что откуда следует, что сумма голоморфна на всей плоскости; так как, далее, она исчезает на бесконечности, то Итак, в результате сказанного имеем:

Если теперь

уравнения границ тел до деформации, то после деформации мы должны иметь на участке соприкасания:

откуда

или еще формулу (22) § 112]

где положено:

Мы будем считать, что удовлетворяет условию

Выражая теперь граничное условие (5) при помощи формулы (15) § 112, примененной соответственно к легко получаем, принимая во внимание соотношения (3):

где положено для сокращения письма:

Мы пришли, таким образом, к той самой математической граничной задаче, к которой приводит задача давления абсолютно жесткого штампа на полуплоскость, т. е. к задаче, соответствующей граничному условию, выражающемуся формулой (5) § 115; только в нашем случае, вместо в упомянутой формуле, мы должны взять а вместо постоянной в правой части этой формулы — постоянную Кроме того, в нашем случае, участок соприкасания, как в § 116, п. 2, не задан заранее и, так же как в § 116, п. 2, требуется найти решение исчезающее на бесконечности и ограниченное вблизи концов

Пользуясь формулами § 116 или непосредственно результатами § 110, приходим к следующему заключению.

Функция дается формулой [см. формулу (9) § 116]

Для определения мы имеем два соотношения [см. формулы (7) § 116]:

и

где обозначает величину главного вектора внешних сил, прижимающих тело эту величину мы считаем заданной.

Под подразумевается, как в § 116, такая ветвь, что при больших

а под при подразумевается положительное значение радикала.

Давление дается формулой:

Если функция четная, т. е. если

то, руководствуясь соображениями симметрии, мы можем заранее взять где I подлежит определению. В этом случае условие (10) выполняется само собой, а для определения I у нас остается соотношение

При предположении (14) и полученные нами окончательные формулы совпадают с теми, которые получил А. В. Бицадзе в упомянутой выше статье.

Как было показано в § 110 (замечание 2), интегралы, фигурирующие в предыдущих формулах, вычисляются совершенно элементарно, если рациональная функция, в частности полином. Полагая, например,

где А — постоянная, целое положительное число, сразу получим решение, найденное Штаерманом [1]. Полагая

что соответствует случаю, когда ограничены окружностями радиусов (больших по сравнению с участками соприкасания), получим решение, найденное Л. Фёплем (L. Foppl [1]) иным путем.

Некоторые другие примеры можно найти в статье Штаермана [3] и в его книге [4].

При учете трения между соприкасающимися телами задача значительно усложняется. Решение некоторых контактных задач при наличии трения, представляющих значительный практический интерес, дано Н. И. Глаголевым; часть этих результатов опубликована в статье Н. И. Глаголева [3].