ГЛАВА ТРЕТЬЯ. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИ ПОМОЩИ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
В настоящей главе дается решение некоторых простейших граничных задач плоской теории упругости при помощи степенных рядов. Этот способ решения непосредственно применяется к областям, ограниченным одной окружностью или двумя концентрическими окружностями. Конформное же отображение дает возможность распространить способ на области более общего вида.
I. О РЯДАХ ФУРЬЕ
§ 52. О рядах Фурье в комплексной форме.
В дальнейшем нам придется пользоваться разложением данных функций в ряды Фурье, причем будет удобнее представлять их в комплексной форме; об этой форме мы и скажем несколько слов.
Пусть 
действительная функция, заданная в промежутке
При весьма общих условиях ее, как известно, можно представить
в виде ряда Фурье
где
Подставляя в формулу (1) известные выражения
получаем разложение
или, вводя обозначения
Предыдущую формулу можно переписать, очевидно, еще так:
где значок суммирования пробегает все целые значения от 
до 
Чтобы получить выражение для коэффициентов 
заметим, что
Умножая обе части формулы (4) на 
где 
любое целое число или нуль, и интегрируя по 
от 
до 
получаем:
Но на основании формулы (5) единственный член в правой части, отличный от нуля, получим при 
и этот член равен 
Следовательно,
Результат (6) справедлив всегда, когда функция 
разлагается в обычный ряд Фурье. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что результат (6) получается непосредственно, если в формулах (2) заменить 
и их выражениями (2).
Рассмотрим теперь выражение 
где 
действительные функции, разлагающиеся [в промежутке 
в обычные ряды Фурье, а следовательно, и в ряды вида (4). Умножив второй из этих рядов на 
и прибавив к первому, получаем, очевидно, опять разложение вида
где
Разница с предыдущим случаем только та, что в первом случае величины 
сопряженные комплексные числа, как это следует из выражений (2) или формулы (6). В общем же случае 
не будут сопряженными величинами.
Замечание. Из формулы (7), отделяя действительную часть от мнимой, можно, обратно, найти обычные ряды Фурье для функций 
в отдельности. Именно, полагая 
действительны), получаем:
Значит,
где
Из этого, между прочим, следует, что разложение вида (7) возможно только единственным образом, ибо это утверждение справедливо, как известно, для обычных рядов Фурье. Задание же коэффициентов обычных рядов Фурье вполне определяет, как это видно из предыдущих формул, все коэффициенты 
