§ 150. Задача об изгибе поперечной силой.

Направим ось Oz по главной оси растяжения, а в качестве плоскостей возьмем главные плоскости изгиба (§ 148).

Для такой системы при обозначениях § 146 будем иметь:

где у о обозначают координаты приведенного центра тяжести «левого» основания.

Предположим, что изгибающая сила величины приложена в точке, где ось Oz пересекает «правое» («верхнее») основание, и направлена параллельно оси

Решение для общего случая найдем, комбинируя соответствующее указанному случаю решение с аналогичным решением, которое получим, поменяв ролями оси и с решением задачи кручения (§ 139).

Принимая во внимание вид решения, полученного нами в § 144 для случая одинаковых коэффициентов Пуассона, естественно и в нашем случае пытаться найти решение задачи в виде:

в областях, соответствующих сечениям в этих формулах — постоянные, подлежащие определению, функция кручения, определенная так, как в § 139, а некоторая функция, непрерывная во всей области и подлежащая определению.

Компоненты напряжения, соответствующие смещениям (2), выражаются в областях с сечениями формулами:

где

Однако деформация (2) не может удовлетворять условиям задачи потому, что компоненты смещения не являются непрерывными при

переходе через линии раздела областей А именно, на этих линиях:

Эти разрывы уже нельзя устранить при помощи наложения некоторого решения задачи о плоской деформации, так как разрывы зависят и от координаты

Мы все же начнем с решения вспомогательной задачи о плоской деформации, сформулированной в § 145 при следующих значениях компонент скачков смещения на линиях раздела: 1

это есть задача (la) § 146.

Будем, как в § 146, обозначать компоненты смещений и напряжений, соответствующих этой задаче, верхним значком (1) и, считая вспомогательную задачу решенной, рассмотрим пространственную деформацию, характеризуемую следующими компонентами смещения:

Компоненты напряжения, соответствующего смещениям (8), даются формулами:

в областях, соответствующих сечениям

Составим, наконец, деформацию, полученную наложением деформаций, соответствующих смещениям (2) и смещениям (8), умноженным на — А, т. е. деформацию, соответствующую смещениям:

Компоненты напряжения, соответствующего этим смещениям, даются формулами:

Подставив эти значения в уравнения равновесия, легко убедимся, что они будут удовлетворены, если функция удовлетворяет уравнению

каждой из областей где через обозначена функция, определяемая формулой

эту функцию мы считаем заданной, так как считаем решенной вспомогательную задачу о плоской деформации.

Предполагая, далее, для определенности, что мы имеем дело с основным случаем составного бруса (§ 139, п. 1), и выражая граничные условия на свободной боковой поверхности и на поверхностях раздела, легко получаем при прежних обозначениях:

где обозначает заданную на функцию:

Мы пришли, таким образом, к знакомой нам граничной задаче (16), но только на этот раз искомая функция удовлетворяет не уравнению Лапласа а несколько более общему уравнению Пуассона (14).

Легко, однако, свести эту задачу к случаю, когда искомая функций удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть, в самом деле, какое-либо частное решение уравнения (14); такое частное решение всегда легко найти. Полагая

где новая искомая функция, удовлетворяющая уже, очевидно, уравнению приходим к граничному условию:

где

Мы знаем, что условие разрешимости задачи (19) заключается в следующем:

Преобразуем несколько последнюю формулу. Внося на место выражение (20), получаем:

или, преобразуя последние интегралы по известной формуле Грина,

или, наконец, вспоминая, что

Проверим, удовлетворено ли в нашем случае это условие. Внося в условие (22) значения даваемые формулой (17), и преобразуя интегралы по формуле Остроградского — Грина, легко получаем, что условие (22) сводится в нашем случае к следующему:

или, принимая во внимание, что

к следующему:

или, наконец,

но это последнее условие удовлетворено в силу формулы (1).

Таким образом, граничная задача (16) в нашем случае разрешима; решение ее определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого, не влияющего на распределение напряжений.

Если взять в формулах (2) в качестве только что указанное решение, то формулы (12), (13) определят решение нашей исходной задачи, удовлетворяющее всем требуемым условиям на боковой поверхности и на поверхностях раздела.

Покажем теперь, что постоянные можно всегда подобрать так, чтобы усилия, приложенные к «правому» («верхнему») основанию, также удовлетворяли требуемым условиям.

Вычислим для этого главный вектор ( и главный момент этих усилий. Так как при имеем то, очевидно, Далее,

Преобразуем эту формулу. В силу уравнений равновесия имеем:

внося сюда на место значение, вытекающее из формул (4), (5) и (10), получаем соотношение:

Таким образом, мы можем написать:

Следовательно, формулу (23) можно переписать так:

Первый интеграл, как было показано в § 139, равен нулю. Следовательно, согласно обозначениям § 146,

Далее, применяя тот же прием к вычислению интеграла

легко получаем:

откуда в силу формулы (1) следует, что

Итак, главный вектор внешних усилий, приложенных к «правому» основанию, параллелен оси

Легко, далее, видеть, что главный момент этих усилий относительно точки, где ось Oz пересекает «правое» основание, параллелен оси Oz и что его величина дается формулой:

где жесткость при кручении; мы знаем, что всегда

Следовательно, мы удовлетворим всем условиям задачи, если подберем постоянную А так, чтобы так, чтобы Первое условие, если принять во внимание формулу (25), определяет А:

второе же условие на основании формул (26) и (27) определяет ибо

Таким образом, задача решена. Легко видеть, что закон Бернулли — Эйлера имеет место и в рассматриваемом случае и что жесткость при изгибе равна

как и в случае изгиба парой.

В случае, когда линии раздела и внешняя граница области концентрические окружности, как в примерах предыдущего параграфа, задача легко решается в конечном виде.