§ 56. Решение первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием.

Эту задачу можно решить методом, совершенно аналогичным методу § 54. Однако для разнообразия мы решим ее, применяя граничное условие в виде (23) § 41.

Пусть начало координат взято в центре отверстия радиуса При этом условии и при обозначениях § 39 будем иметь:

где (см. § 41, п. 6) обозначают проекции внешнего напряжения, действующего на окружность отверстия, взятые соответственно на нормаль внешнюю по отношению к телу (т. е. направленную к центру отверстия), и на касательную направленную влево, если смотреть вдоль положительного направления нормали.

Условие (23) § 41 может быть получено непосредственно из формулы (5) § 39, которая дает

Обратимся теперь к формулам (4), (5) и (7) § 36 и заметим, что в нашем случае разложения (7) § 36 имеют место во всей области т. е. вне окружности (см. замечание в конце § 36). Дифференцируя упомянутые формулы, получим для и разложения вида:

мы ввели здесь обозначения для коэффициентов, отличные от обозначений § 36.

В частности, в предыдущих формулах коэффициенты имеют следующие значения:

мы считаем, что мнимая часть положена равной нулю, на что мы имеем право.

Формулы (5) не нужны нам для решения задачи. Надо, конечно, только использовать условие однозначности смещений, которое в нашем случае выразится формулой

Подставляя выражения (3) в формулу (2) и считая, что ряды сходятся на самой окружности получаем после очевидных преобразований (ср. § 54):

Разложим заданную на функцию в комплексный ряд Фурье

Внесем это выражение в правую часть формулы (7) и сравним коэффициенты при различных степенях Сравнение постоянных членов и коэффициентов при дает:

Сравнение коэффициентов при дает:

Наконец, сравнение коэффициентов при дает:

Формулы (10) определяют коэффициенты начиная с

Далее, мы знаем, что

где заданные величины, характеризующие распределение напряжений на бесконечности. Значит, последняя из формул (9) определит

Для определения необходимо принять во внимание условие (6) однозначности смещений, которое вместе со второй из формул (9) дает:

Согласно первой из формул (9) получим:

и, наконец, формула определяет все коэффициенты начиная с

Таким образом, задача определения коэффициентов решена.

При помощи элементарных рассуждений, таких, как в § 54, легко показать, что если функции имеют вторые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле, то ряды, полученные для будут равномерно и абсолютно сходящимися на (а следовательно, и вне откуда непосредственно вытекает, что они решают задачу.

Замечание. Если бы мы исходили не из граничного условия (2), а из условия (2) § 41, то получили бы для ряды, относительно которых могли бы показать элементарным способом, примененным в § 54, что они решают задачу, если имеют только первые производные, удовлетворяющие условиям Дирихле.

Таким образом, при применении граничного условия (23) § 41 [условие (2) настоящего параграфа] приходится налагать на задаваемые функции более ограничительные условия, чем в случае условия (2) § 41. Однако

легко видеть, что эти дополнительные ограничения обусловливаются не существом дела, а применяемым элементарным методом доказательства пригодности решения. В самом деле, почти очевидно (и это легко проверить непосредственно), что, исходя из условий (2) § 41, мы найдем для ряды, получающиеся почленным интегрированием рядов для найденных в настоящем параграфе. Но раз удовлетворяют условиям задачи, то, очевидно, и функции решают задачу.