§ 70. Некоторые элементарные формулы, облегчающие вычисление интегралов типа Коши.

Приведем теперь ряд простых формул, значительно облегчающих вычисления во многих случаях.

Пусть обозначает простой замкнутый гладкий контур. Обозначим через конечную часть плоскости, ограниченную а через бесконечную часть плоскости, состоящую из точек, расположенных вне Контур мы не причисляем ни к ни к Область, состоящую из и из точек линии мы, как обычно, будем обозначать через а область, состоящую из и точек линии через В качестве положительного направления на мы выберем то, которое оставляет область слева.

Напомним теперь следующие, хорошо известные формулы.

I. Пусть функция, голоморфная в и непрерывная в . Тогда

формула (1) представляет собой известную формулу Коши, а формула (2) — непосредственное следствие теоремы Коши, ибо в этом случае подынтегральная функция рассматриваемая как функция от голоморфна в и непрерывна в Пусть функция, голоморфная в включая бесконечно удаленную точку и непрерывная в Тогда

формулу (1) мы будем называть формулой Коши для бесконечной области Знаки правых частей в формулах (1) и (2) изменятся на обратные, если положительное направление на выбрать так, чтобы область (а не область оставалась слева.

Напомним, как выводятся формулы (1) и (2) из формулы и теоремы Коши для конечной области. Будем временно считать, что Пусть окружность с центром в начале, настолько большого радиуса, что контур и точка z находятся внутри Тогда, считая, что z находится в области, заключенной между имеем по формуле Коши:

под подразумевается совокупность контуров причем положительным направлением на считается направление вращения часовой стрелки; знак (-) в правой части обусловлен тем, что при движении по в положительном направлении область, заключенная между остается справа (а не слева, как это обычно предполагается в формуле Коши).

Покажем теперь, что интеграл

равен нулю. Действительно, значение I не изменяется, если произвольно увеличивать радиус окружности так как функция голоморфна вне С другой стороны, так как то при достаточно больших имеет место оценка

где С — положительная постоянная. Поэтому, полагая

будем иметь:

где Следовательно, если то Но так как I не изменяется с возрастанием то Таким образом, формула (1) доказана пока в предположении

Для того, чтобы доказать формулу (2) при том же временном предположении, будем считать, что точка z находится в Тогда функция

рассматриваемая как функция от голоморфна в области, заключенной между, Поэтому по теореме Коши

Но последний интеграл, обозначенный нами выше через равен нулю; отсюда и следует требуемая формула (2) при

Если теперь то, применяя выведенные формулы к функции исчезающей на бесконечности, и отмечая, что

получаем формулы (1), (2) для общего случая.

Имея в виду обобщить предыдущие формулы, условимся предварительно в следующем. Пусть а — некоторая конечная точка на плоскости z и пусть в окрестности этой точки функция имеет следующий вид:

где функция, голоморфная в окрестности точки а и

причем некоторые постоянные.

Тогда мы будем говорить, что имеет в точке а полюс порядка I с главной частью

Аналогично, если в окрестности точки т. е. при достаточно больших имеет место формула где на этот раз функция, голоморфная в окрестности точки и исчезающая в этой точке, а

постоянные), то мы будем говорить, что имеет в точке полюс порядка I с главной частью

Обратим внимание на то, что в случае бесконечно удаленной точки мы причисляем постоянную к главной части. Докажем теперь следующие простые формулы.

III. Пусть функция голоморфна в и непрерывна в за исключением, быть может, точек области где она может иметь полюсы с главными частями Тогда

и

IV. Пусть функция голоморфна в и непрерывна в за исключением, быть может, конечных точек этой области, а также точки где она может иметь полюсы с главными частями Тогда

и

Эти формулы очень просто доказать. Вследствие единообразия доказательств мы ограничимся доказательством формулы (3) и (3); остальные две формулы читатель легко докажет сам.

Докажем сперва формулу (3). Применяя формулу Коши к функции

голоморфной в получаем (считая, что z находится в

Но каждая из функций голоморфна в и исчезает на бесконечности, ибо эти функции имеют вид Следовательно, в силу формулы (2)

Поэтому

а отсюда и следует формула (3).

Перейдем к доказательству формулы (3). Пусть окружность с центром в начале, настолько большого радиуса, что контур и точки находятся внутри Применяя формулу Коши к функции

голоморфной в области, заключенной между (при прежнем условии относительно положительного направления на получаем:

(мы считаем, разумеется, что точка z находится в

Но последний интеграл равен нулю в силу формулы (2), так как функция голоморфна вне и исчезает на бесконечности. Следовательно,

Но интегралы правой части, содержащие равны нулю, так как эти функции голоморфны в а точка z, фигурирующая в предыдущих интегралах, находится в Следовательно.

а отсюда сразу следует формула (3).