§ 3. Компоненты напряжения. Зависимость напряжения от ориентировки площадки.

Имея в виду изучить зависимость напряжения от ориентировки площадки, возьмем какую-либо прямоугольную, прямолинейную

систему осей координат Пусть данная точка, через которую проводится площадка. Мы увидим, что достаточно знать напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные площадки, проходящие через для того чтобы уметь вычислить напряжение, действующее на площадку, ориентированную любым образом (и проходящую через ту же точку). За упомянутые три площадки возьмем площадки, перпендикулярные к осям координат причем за положительные направления нормалей к этим площадкам примем положительные направления соответствующих осей.

Введем теперь следующие обозначения, которые будем применять во всем дальнейшем. Компоненты вектора напряжения, действующего на площадку, нормальную к оси обозначим через индекс х указывает на то, что рассматриваемая площадка нормальна к оси измеряет нормальную компоненту напряжения, действующего на нашу площадку, компоненты касательного или скалывающего напряжения. Аналогично обозначим компоненты вектора напряжения, действующего на площадку, нормальную к оси Оу, через а компоненты напряжения, действующего на площадку, нормальную к через Величины

вполне характеризуют, как мы увидим, напряженное состояние в окрестности рассматриваемой точки. Поэтому они называются компонентами напряжения (в данной точке, в данный момент времени). Эти компоненты изображены на рис. 2. Не надо упускать из виду, что, по нашему определению, они — скалярные величины. На рис. 2, например, изображена не сама величина а вектор, алгебраическое значение которого по оси Ох равно

Для того чтобы найти зависимость между величинами (1) и компонентами вектора напряжения действующего на площадку с нормалью проходящую через данную точку прибегнем к следующему приему. Проведем через точку три плоскости, параллельные плоскостям координат, и, кроме того, проведем на некотором расстоянии от точки плоскость, имеющую нормаль Упомянутые четыре плоскости образуют тетраэдр, три грани которого параллельны плоскостям координат, а четвертая рассматриваемой площадке (рис. 3).

Будем здесь, как и в дальнейшем, считать (если противное не оговорено особо), что объемные силы и напряжения изменяются непрерывно положением точки, к которой они относятся. Будем, кроме того, считать, что мы имеем дело с равновесием, и выразим на основании известного принципа статики, что главный вектор совокупности внешних сил, действующих на рассматриваемый тетраэдр, равен нулю.

Имея в виду переход к пределу будем считать размеры тетраэдра бесконечно малыми.

Подсчитаем проекцию на ось Ох главного вектора всех внешних сил, действующих на тетраэдр.

Все рассуждения будем вести в предположении, что отрезки направлены соответственно в те же стороны, что оси

Рис. 2.

Рис. 3.

Читатель легко убедится, что результаты останутся справедливыми и для всех других случаев.

Проекция объемной силы равна где объем тетраэдра. Значение X берется для точки бесконечно малая величина (в силу непрерывности величины X).

Далее, проекция усилия, действующего на площадку равна где а обозначает площадь треугольника бесконечно малую величину; обозначают, напоминаем, компоненты вектора напряжения, действующего на площадку с нормалью в точке

Наконец, проекция внешнего усилия, действующего на площадку нормальную к оси равна где площадь треугольника бесконечно малая величина. Здесь берется а не так как мы имеем дело с силой, действующей на площадку со стороны части тела, расположенной с отрицательной стороны нормали к площадке (вспомним, что при определении величины за положительную нормаль была взята нормаль, направленная так же, как ось Для площадок и получаем, совершенно аналогично, величины

Итак, замечая, что

имеем:

Разделяя на а и переходя к пределу получим окончательно формулы, из которых две последние написаны по аналогии с первой