§ 105. О других применениях общих представлений решения.
Некоторые обобщения. Изложенные в настоящей и предыдущей (а также следующей) главах методы решения граничных задач плоской теории упругости основаны на общем представлении решения соответствующих дифференциальных уравнений при помощи функций комплексного переменного. Таким общим представлениям решений дифференциальных уравнений в частных производных при помощи «произвольных» функций придавалось на заре развития математической физики преувеличенное значение, аналогичное тому, которое в свое время придавалось интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи квадратур. Но вскоре выяснилось, что нахождение «общего решения» далеко не исчерпывает вопроса и что для решения соответствующих граничных задач такие общие решения зачастую почти ничего не дают.
Это вызвало обычную в таких случаях реакцию и привело к другой крайней точке зрения, господствовавшей до самого последнего времени, что из «общих решений» вообще нельзя извлечь почти никакой пользы.
Дело обстоит, однако, далеко не так. Общие решения, если их возможно найти, при целесообразном применении оказываются часто чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. В ряде же случаев они дают возможность построить также вполне законченную теорию данного вопроса проще и полнее, чем это можно сделать другими, до сих пор известными методами; примером может служить плоская теория упругости.
Поэтому представляется весьма желательным распространить методы, аналогичные изложенным выше, как на другие разделы самой теории упругости, так и на более широкий круг вопросов.
В этом направлении уже имеются результаты, заслуживающие большого внимания и дальнейшего развития.
Не имея возможности подробно остановиться на этом круге вопросов, упомянем лишь работы И. Н. Векуа, в которых метод комплексного представления решения распространен на обширный класс дифференциальных уравнений эллиптического типа, к которому принадлежат и уравнения плоской теории упругости (в статическом случае). Сводное изложение этих работ дано в книге И. Н. Векуа [1]; поэтому мы их перечислять не будем, ограничиваясь указанием на его работы, относящиеся к теории упругих оболочек [4, 5]; см. также И. Н. Векуа и Н. И. Мусхелишвили [1].
Метод общих представлений также с успехом применяется к некоторым задачам упругих колебаний, но мы не имеем возможности на этом останавливаться.
Мы не останавливаемся также на общих решениях уравнений теории упругости в трехмерном случае, указанных Буссинеском, Б. Г. Галеркиным, П. Ф. Папковичем и другими. Некоторые сведения о них можно найти в курсах Л. С. Лейбензона [1], П. Ф. Папковича [1] и Love [1].
За последнее время все большее значение приобретает теория обобщенных аналитических функций, разработанная И. Н. Векуа, Л. Берсом (L. Bers) и др. (Л. Берс применяет термин «псевдоаналитические функции».) В частности, эта теория нашла в работах И. Н. Векуа важные применения в так называемой безмоментной теории оболочек. Не имея возможности останавливаться на этих вопросах, мы отсылаем читателя к фундаментальной монографии И. Н. Векуа [8].
