§ 127. Решение основной смешанной задачи.

Перейдем теперь к решению основной смешанной задачи. Пусть дуги контура ограничивающего упругое тело обозначенные так, что, проходя в положительном направлении (оставляющем слева), точки встречаются в указанной последовательности. Пусть остальная часть контура

Пусть на заданы значения смещений, а на внешние напряжения. Не нарушая общности, мы можем считать, что часть свободна от внешних напряжений.

Обозначим через точки окружности у, соответствующие точкам контура через у — часть окружности, соответствующую а через остальную ее часть. Точки будут играть роль точек о которых говорилось в конце § 125.

Тогда граничные условия задачи на основании формул (10) и (13) § 125 напишутся так:

где, если, обозначают граничные значения компонент смещения, заданные на

мы будем считать, что удовлетворяет условию на

Формула (1) показывает, что часть границы не является линией скачков для функции т. е. что функция голоморфна на разрезанной вдоль у плоскости, за исключением конечного числа точек, где она может иметь полюсы; то же, разумеется, относится к функции

Для определения зтой последней функции у нас имеется граничное условие (2), точно такое же, как условие, с которым мы имели дело при решении основной смешанной задачи в случае, когда область круг (§ 123, п. 1); только на этот раз искомая функция может иметь полюсы в заранее заданных точках порядков не выше, чем заданные числа (§ 125), а также, в случае, когда область бесконечна, полюс в точке не выше второго порядка. Полагая, как в §

где под подразумевается ветвь, такая, что

получаем, применяя формулу (26) § 110:

где обозначает рациональную функцию вида

(в случае конечной области имеем:

Остается определить постоянные входящие в выражение (8). Эти постоянные должны быть определены на основании следующих условий:

1°. Функция соответствующая функции т. е. связанная с ней формулой (8) § 125, должна быть голоморфна внутри у. Это условие выражается равенствами (14) § 125.

2°. В случае бесконечной области компоненты напряжения и вращения должны принимать заданные значения на бесконечности, компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к должны также иметь заданные значения, а компоненты смещения должны быть, однозначными. Эти условия эквивалентны условиям (17), (18) § 125 при заданных

3°. Наконец, надо учесть то обстоятельство, что если удовлетворены все предыдущие условия, компоненты смещения будут принимать на дугах заданные значения лишь с точностью до некоторых постоянных ибо, решая задачу, мы исходили из требования, что на этих дугах принимают заданные значения производные по Таким образом, к предыдущим условиям следует добавить условие

которое можно заменить более слабым:

ибо при соблюдении последнего условия можно удовлетворить и условию (9) за счет произвольной постоянной, входящей в правую часть формулы (6) § 125.

Условия же (10) могут быть выражены совершенно аналогично тому, как это было сделано в § 123 для случая, когда круг. Поэтому мы считаем излишним выписывать здесь соответствующие формулы.

Выразив перечисленные выше условия, мы получим известное число линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных постоянных, которые и определят их полностью, как легко заключить на основании теорем единственности и существования решения

Особенно просто решается задача в случае, когда контур разбит лишь на две дуги т. е. когда ; тогда отпадают условия (10).

Замечание 1. Легко также непосредственно решить задачу в случае, когда часть контура не свободна от внешних напряжений, а несет заданную внешнюю нагрузку. Тогда граничные условия, определяющие функцию можно представить в виде:

где заданная на у функция:

обозначают то же, что в § 126. Мы будем считать, что удовлетворяет условию на каждой из частей (но может изменяться скачком при переходе через точки

Применяя сказанное в § 111, получаем формулу, вполне аналогичную формуле (7):

где обозначают то же, что и выше, т. е. даются формулами (5) и (8), но интеграл берется уже по всей окружности у, а определяется формулами (12). Остальные рассуждения те же, что и выше.

Замечание 2. При решении задачи можно (а иногда удобнее) исходить из более простых формул (11), (12) § 125 (ср. замечание 2 в конце предыдущего параграфа). Не надо при этом упускать из виду, что, разыскивая функцию по соответствующему граничному условию, мы должны потребовать, чтобы она оставалась ограниченной вблизи точек как это следует из условия, наложенного нами на функцию