§ 97. Об одном общем методе решения задач для многосвязных областей.

Заслуживает внимания один общий метод решения граничных задач, разработанный Д. И. Шерманом [1, 5] и С. Г. Михлиным, позволяющий составить уравнение Фредгольма для данной многосвязной области, если тем или иным путем получены общие решения соответствующей граничной задачи для областей, каждая из которых ограничена одним из простых контуров, входящих в состав границы данной многосвязной области, причем эти общие решения должны быть представлены определенным образом, например в виде, который дается решением интегральных уравнений, указанных в § 79.

Особенно простые и применимые практически уравнения получаются в том случае, когда упомянутые отдельные области отображаются на круг рациональными функциями и когда, следовательно, к ним приложимы эффективные методы решения, изложенные выше. К последнему случаю относится, например, область, представляющая собой полуплоскость с эллиптическим вырезом, рассмотренная Д. И. Шерманом в уже упоминавшейся статье [4].

Возвращаясь к общему случаю, заметим, что полученные упомянутым выше путем интегральные уравнения обладают следующим, имеющим практическое значение, свойством: если решать эти уравнения хорошо известным алгорифмом последовательных приближений (т. е. путем разложения решения в так называемый ряд Неймана), то этот алгорифм совпадает по существу с алгорифмом, обобщающим известный алгорифм Шварца для задачи Дирихле; об этом обобщении алгорифма Шварца мы уже упоминали выше (см. конец § 89).

Изложение упомянутого метода можно найти, кроме указанных выше работ Д. И. Шермана, в книге С. Г. Михлина [13]; изложение С. Г. Михлина несколько отлично от изложения Д. И. Шермана, так как

последний исходит из интегральных уравнений, полученных мною (§ 79), а С. Г. Михлин — из своих уравнений, упомянутых в предыдущем параграфе.