§ 131. Общее решение задачи кручения.

Мы переходим к решению поставленных задач и начинаем с кручения.

Пусть оси координат выбраны, как в § 129. Координатную систему будем считать правой. Пусть усилия, приложенные к основаниям, статически эквивалентны закручивающим парам, т. е. парам, векторные моменты которых перпендикулярны к плоскостям оснований. Пусть обозначает (скалярный) момент пары, действующей на верхнее основание когда пара стремится закручивать против часовой стрелки, если смотреть сверху, так как, согласно условию, система координат — правая).

На первый взгляд представляется естественным простейшее предположение, что все поперечные сечения цилиндра остаются плоскими и только поворачиваются (каждое в своей плоскости) вокруг Oz на некоторый угол Если нижнее основание удерживается неподвижным, то естественно предположить, что угол пропорционален расстоянию z рассматриваемого сечения до нижнего основания, т. е.

где постоянная, которая измеряет угол взаимного поворота поперечных сечений, отстоящих друг от друга на единицу высоты. Поэтому называется степенью закручивания или круткой.

При наших предположениях компоненты смещения будут:

Если по этим компонентам вычислим компоненты напряжения, то увидим, что уравнения (1) § 129 будут удовлетворены; но легко также убедиться, что условия (3) § 129 не могут быть выполнены, если только мы не имеем дела с круговым цилиндром (это станет очевидным на основании изложенного ниже). Поэтому ясно, что мы сделали слишком ограничительную гипотезу.

Следующим этапом является предположение (которое, как мы увидим, приведет к цели), что сечения не остаются плоскими, а искривляются (причем все сечения искривляются одинаково). Это предположение приводит, очевидно, к следующим выражениям для компонент смещения:

где постоянная (степень закручивания), а некоторая функция от х, у, подлежащая определению (в выражении для мы ввели множитель х для удобства).

Формулы (2) § 129 дадут для компонент напряжения, соответствующих смещениям (2):

и

Подставляя эти значения в уравнения (1) § 129, увидим, что они будут удовлетворены, если

Иными словами, должна быть гармонической функцией двух переменных в области, занятой телом; так как не зависит от z, то достаточно, конечно, рассматривать какое-либо нормальное поперечное сечение нашего цилиндра.

Далее, условие (3) § 129 (выражающее условие отсутствия внешних напряжений на боковой поверхности) принимает вид:

где через обозначена граница области а через внешняя нормаль к ней (т. е. нормаль, направленная наружу Замечая далее, что

получаем окончательно граничное условие в следующем виде:

Таким образом, функция называемая функцией кручения, должна удовлетворять следующим условиям: она должна быть однозначной и гармонической в области а на контуре этой области ее нормальная производная должна принимать заранее заданное значение, а именно значение

Задача определения есть, таким образом, частный случай одной из основных задач теории потенциала - «задачи Неймана», о которой мы уже имели случай говорить (§ 77).

Как известно, задача Неймана, т. е. задача определения функции гармонической в области по граничному условию

где заданная на непрерывная функция, имеет решение тогда и только тогда, когда соблюдено условие

где элемент дуги контура при соблюдении этого условия решение определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Эта постоянная не существенна, ибо замена на не изменяет напряженного состояния, как это следует из формул (3), а вызывает лишь жесткое поступательное перемещение бруса как целого в направлении оси Oz. Это следует из формул (2).

Легко показать, что в нашем случае условие существования решения задачи Неймана соблюдено.

Действительно, предполагая, что в качестве положительного направления на выбрано то, которое оставляет область слева, и подразумевая под дугу, отсчитываемую по в этом направлении, будем иметь:

где положительная касательная. Поэтому

а это и требовалось показать.

Таким образом, мы можем определить функцию решив задачу Неймана.

Формулы (3), (4) показывают, что основания бруса испытывают лишь касательные напряжения.

Легко показать, что если удовлетворяет поставленным выше условиям, то главный вектор этих напряжений равен нулю, т. е. что

Действительно, на основании последнего из уравнений (1) § 129 имеем:

поэтому

но последний интеграл равен нулю в силу условия (3) § 129. Это доказывает первую из формул (7). Точно так же доказывается и вторая формула.

Главный момент внешних напряжений, приложенных к верхнему основанию, определится формулой

т. е.

где

Формула (8) показывает, что закручивающий момент пропорционален степени закручивания Коэффициент пропорциональности называется жесткостью при кручении. Мы видим, что он представляет собой произведение модуля сдвига и величины, зависящей только от формы сечения, но не от материала.

Если функция кручения найдена, то тем самым будет определена величина

Мы покажем сейчас, что всегда Поэтому при заданной закручивающей паре, т. е. при заданной величине постоянная определится по формуле (8), и задача будет решена.

Остается показать, что Проще всего это заключение выводится из рассмотрения потенциальной энергии, запасенной в закрученном брусе. Действительно, мы знаем, что эта энергия дается формулой (см. замечание в конце § 24):

где интеграл берется по всей поверхности бруса. Но в нашем случае подынтегральное выражение равно нулю на боковой поверхности и на нижнем основании, и поэтому остается лишь интеграл, распространенный по верхнему основанию. Но на верхнем основании

и, следовательно,

Так как при наличии деформации то что и доказывает наше утверждение.

Это утверждение можно доказать и непосредственно. В самом деле, принимая во внимание условие (6), получаем:

Но по известной формуле имеем для всякой гармонической функции

Таким образом, имеет место соотношение

Умножая обе части последнего равенства на и складывая почленно с формулой (9), получаем формулу:

из которой и следует наше утверждение

Замечание 1. Очевидно, что, не изменяя напряжений, мы можем прибавить к найденным значениям соответственно члены вида

выражающие жесткое перемещение бруса как целого.

Замечание 2. Так как мы исходили из формул (2), две первые из которых выражают жесткий поворот сечения вокруг оси то может показаться, что, взяв вместо Oz другую ось, ей параллельную, вокруг которой будем производить поворот сечений, мы получим йное решение задачи. Однако это не так. Действительно, пусть 0% точка пересечения новой оси с плоскостью Тогда мы будем иметь:

где компоненты смещения, а функция кручения, соответствующие новому положению оси.

Соответствующие напряжения будут даны формулами:

Так же, как и выше, покажем, что функция гармоническая и что на она должна удовлетворять условию:

Предыдущее условие можно, очевидно, переписать так:

Таким образом, гармоническая функция должна удовлетворять тем же условиям, что и функция откуда следует, что эти две функции могут отличаться только постоянной, т. е. что

Следовательно, на основании формул (2) и (2) будем иметь:

Члены, которые отличают от выражают только жесткое перемещение и потому на напряжениях не отражаются; это также легко проверить непосредственно по формулам (3), которые дают те же значения напряжений, что и формулы (3).