§ 30. Функция напряжений.

1. В дальнейшем (если противное не оговорено особо) мы будем заниматься уравнениями плоской теории упругости при отсутствии объемных сил. В этом случае напряжения могут быть выражены через одну вспомогательную функцию, называемую функцией напряжений или функцией Эри, играющую большую роль в плоской теории упругости.

Действительно, в рассматриваемом случае имеем:

Первое из этих уравнений представляет собой необходимое и достаточное условие того, чтобы существовала некоторая функция удовлетворяющая условиям:

Второе же из уравнений (1) есть необходимое и достаточное условие существования некоторой функции удовлетворяющей условиям:

Сравнение двух выражений для показывает, что должно быть

откуда в свою очередь следует существование некоторой функции такой, что

Подставляя эти значения в предыдущие соотношения, убеждаемся, что (при отсутствии объемных сил) всегда существует некоторая функция через которую напряжения выражаются следующим образом:

Этот факт был впервые отмечен Эри (G. В. Airy) в 1862 г.

Функция U и называется функцией напряжений или функцией Так как по принятому нами раньше (§ 27) условию функции однозначны и непрерывны вместе со своими производными вплоть до второго порядка, то функция должна иметь непрерывные производные вплоть до четвертого порядка, причем эти производные, начиная со вторых, должны быть однозначными функциями во всей области, занятой телом.

Очевидно и обратное: если функция обладает указанными свойствами, то величины определяемые равенствами (2), будут удовлетворять уравнениям (1). Однако, как мы знаем, это еще не значит, что эти величины соответствуют некоторой действительной деформации. Для этого надо еще, чтобы было соблюдено условие (7) § 27, которое в случае отсутствия объемных сил сводится к следующему:

или, замечая, что

к уравнению

или

Предыдущее уравнение называется бигармоническим, а всякое его решение — бигармонической функцией.

Однако под бигармоническими функциями в дальнейшем мы будем понимать только такие функции, удовлетворяющие бигармоническому уравнению, производные которых вплоть до четвертого порядка непрерывны, а производные, начиная со второго порядка, однозначны во всей рассматриваемой области.

Если рассматриваемая область односвязна, то однозначность вторых производных влечет за собой однозначность и самой функции. В многосвязной же области это не обязательно, как мы увидим ниже.

Итак, мы доказали, что функция напряжений должна быть бигармонической. Мы знаем, что это условие, которое есть не что иное, как условие (7) § 27, также достаточно для того, чтобы ей соответствовала некоторая действительная деформация, если временно не придавать значения факту, что соответствующие смещения могут оказаться (в случае многосвязной области) многозначными.

2. Выше (§ 27) мы заранее наложили некоторые ограничительные условия на рассматриваемые смещения и напряжения, а именно: мы условились считать, что функции однозначны и имеют непрерывные производные вплоть до третьего порядка; непрерывность и однозначность компонент напряжения и их производных до второго порядка являются при этом непосредственным следствием соотношений

С точки зрения некоторых выводов общего характера удобно слегка видоизменить эти условия, заменяя их несколько менее ограничительными. А именно, все сказанное ниже останется справедливым, если начиная с этого момента считать, что в области занятой телом, соблюдены следующие условия:

а) Условия относительно напряжений. Компоненты однозначные, непрерывные функции, имеющие непрерывные производные вплоть до второго порядка и удовлетворяющие уравнениям (1) и (3). Следствием этих условий является то, что функция бигармоническая (в указанном выше смысле).

б) Условия относительно смещений. Компоненты непрерывные однозначные функции, имеющие частные производные первого порядка, связанные с компонентами напряжения соотношениями (5).

Мы увидим ниже, что условия а) гарантируют существование производных любого порядка функций больше того, мы увидим, что функции эти — аналитические (см. § 32).

Точно так же условия б) совместно с условиями а) гарантируют существование производных любого порядка (и даже аналитичность) функций (см. в том же § 32). Заметим еще, что во многих случаях достаточно принять предыдущие условия, отбросив условие однозначности функций Например, в случае односвязной области эта однозначность является необходимым следствием остальных условий, перечисленных в а) и б); это следует из сказанного в следующем параграфе.

3. Если дана (бигармоническая) функция напряжений то соответствующие напряжения даются формулами (2); смещения, соответствующие этим напряжениям, могут быть найдены по правилу § 27. Однако мы приведем здесь другие формулы, значительно более удобные, чем предыдущие. Эти формулы были впервые указаны Лявом (Love [1]), который получил их несколько иным путем.

Область занятую телом, мы будем пока (вплоть до § 35) считать односвязной.

Наша задача состоит в нахождении функций по уравнениям:

Первые два из этих уравнений, решенные относительно

дают

Вводя обозначение

заменяя в первом уравнении через и поступая аналогично со вторым, получаем:

Функция как видно из формулы (3), гармоническая, ибо

Пусть обозначает гармоническую функцию, сопряженную с т. е. удовлетворяющую условиям Коши — Римана:

эта функция определяется при заданном с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Тогда выражение

будет функцией комплексного переменного голоморфной в области занятой телом. Положим далее:

Имеем, очевидно

откуда, замечая еще, что в силу условий Коши — Римана

получаем:

Таким образом,

и поэтому уравнения (8) можно написать так:

Интегрируя, получаем:

где некоторые функции, соответственно, только от у и только от х. Подставляя эти значения в третье из уравнений (6) и замечая, что

получаем:

откуда следует (ср. § 27), что функции имеют вид:

где произвольные постоянные (множитель введен для удобства). Отбрасывая эти выражения, дающие только жесткое перемещение, получаем формулы, по существу совпадающие с формулами Лява

Так как функция определяемая равенством (10), очевидно голоморфна в области S (которую, напоминаем, считаем односвязной), то оказываются однозначными функциями во всей области.

Таким образом, мы видим, что всякая бигармоническая функция определяет некоторую деформацию, удовлетворяющую всем требуемым условиям.

Заметим в заключение, что, отбросив в правых частях формул (12) слагаемые, выражающие жесткое перемещение, мы ничего не теряем в общности, ибо, как легко видеть, сами функции, фигурирующие в правых частях формул (12), определяются по заданным компонентам напряжения не вполне, а лишь с точностью до некоторых слагаемых, которые и дают произвольное жесткое перемещение тела как целого (см. об этом в § 34).