§ 64. Пример применения отображения на круговое кольцо. Решение основных задач для сплошного эллипса.

Естественно попытаться обобщить способ, изложенный в предыдущем параграфе, на случай двусвязной области, пользуясь отображением на круговое кольцо. Однако даже для областей простейшего вида непосредственное применение этого способа не приводит к простым результатам. Не останавливаясь на этом вопросе, мы применим отображение на круговое кольцо к решению основных задач для сплошного эллипса. Дело в том, что конечная область,

ограниченная эллипсом, может быть, как и всякая область, ограниченная одним замкнутым контуром, отображена на круг. Но соответствующая преобразующая функция в этом случае сложна и неудобна. Вот почему мы предпочитаем применить другое отображение.

Представим себе, что эллипс разрезан по отрезку, соединяющему его фокусы. Этот разрез мы можем рассматривать так же, как эллипс (конфокальный с данным), малая полуось которого равна нулю. Таким образом, мы имеем предельный случай области, заключенной между двумя конфокальными эллипсами. Эту область мы можем отобразить на кольцо, заключенное между концентрическими окружностями плоскости положив (§ 48, п. 5):

Окружности радиуса на плоскости соответствует на плоскости z эллипс, параметрически представляемый уравнениями

Окружности плоскости будет соответствовать отрезок оси Ох (на плоскости заключенный между точками

Когда точка описывает окружность соответствующая точка z дважды пробегает упомянутый отрезок, следуя закону:

так что точкам плоскости соответствует одна и та же точка отрезка

Таким образом, за окружность мы должны принять окружность радиуса 1; радиус же окружности мы обозначим через Величина определится заданием линейного эксцентриситета и большой полуоси эллипса откуда для получается выражение

(знак (-) перед радикалом дал бы

При обозначениях § 50 функции должны быть голоморфны внутри неразрезанного эллипса. Тем более они должны быть голоморфны в разрезанном вдоль эллипсе. Значит, должны быть голоморфны в кольце между и и мы будем иметь

разложения вида

сходящиеся при (и даже при

При эти Функции должны удовлетворять граничному условию

где заданная функция от ср. формулу (2) предыдущего параграфа (мы перешли к сопряженным значениям исключительно ради некоторого упрощения письма).

Кроме того, на окружности мы должны иметь:

ибо точкам а и о соответствует одна и та же точка отрезка на плоскости Обратно, если это последнее условие соблюдено, то функции будут принимать одни и те же значения при приближении z к разрезу с той или иной стороны и, значит, будут представлять собой аналитические функции в неразрезанном эллипсе. Из формул (5) и (7) следует:

Внося ряды (5) в формулу (6), замечая, что при

и умножая обе части равенства (6) на 1 — получаем:

Мы ввели здесь обозначение

так что

Разлагая правую часть формулы (9) в комплексный ряд Фурье

полагая сравнивая коэффициенты при получаем без всякого труда:

или, замечая, что на основании первой формулы

Заменяя на и замечая, что на основании равенств (8) и (11)

получаем еще:

Исключая из уравнений (13) и (13) величину получаем:

где

Уравнения (14) дают возможность последовательно определить коэффициенты если известны Величина может быть задана произвольно, так как к функции может быть всегда прибавлена произвольная постоянная. Уравнения (14) показывают, что, как и следовало ожидать, величина (а следовательно, и величины не зависит от величины действительно, при из уравнений (14) выпадают члены, содержащие

Чтобы вычислить положим в уравнениях что дает:

Это соотношение позволяет вычислить действительную часть и вместе с тем показывает, что для возможности задачи должно быть

Легко непосредственно проверить, что условие это выражает условие равенства нулю главного момента внешних усилий (равенство нулю главного вектора обеспечивается уже тем, что мы считаем и непрерывными на контуре эллипса).

Мнимая часть остается произвольной, как это можно было предвидеть. Легко непосредственно проверить, что влияние этой мнимой части не отразится на а следовательно, на

Зафиксировав произвольно и мнимую часть и определив последовательно все остальные коэффициенты по уравнениям (14), получим значение функции

После этого коэффициенты определятся последовательно по одной из формул (13), (13). Таким образом, мы получим:

или, вспоминая, что (значит, в частности,

Мы увидим ниже, что при определенных условиях полученные ряды сходятся в рассматриваемой области. Правая часть формулы (18) обращается в нуль при следовательно, функция получаемая делением правой части на 1 — не будет иметь особенностей при

Таким образом, задача решена. Совершенно аналогично можно решить и вторую основную задачу.

Прежде чем перейти к вопросу о сходимости полученных рядов, заметим, что вычисление коэффициентов можно упростить следующим образом. Полагая для сокращения письма

будем иметь согласно уравнениям (14):

Полагая в этой формуле последовательно складывая полученные результаты и замечая, что получаем:

Точно так же, полагая в формуле (20) последовательно и складывая, получаем:

где на основании формул (19) и (16)

Таким образом, мы получили явные выражения для величин Величины же весьма просто выражаются через А именно, присоединив к формуле (19) равенство, полученное переходом к сопряженным значениям, и решая относительно получим:

Выражения (21), (21) для величин фигурирующих в предыдущей формуле, можно еще упростить, если ввести в рассмотрение, вместо коэффициентов разложения (12), коэффициенты разложения функции в комплексный ряд Фурье:

Сравнивая последнюю формулу с формулой (12), имеем:

Выражение (22) для получает теперь вид

Внося выражения (25), (26) в правые части формул (21), (21), легко получаем весьма простую формулу:

Переходя теперь к вопросу о сходимости полученных выше рядов, предположим, что функции имеют вторые производные, удовлетворяющие условию Дирихле (или, более обще, вторые производные с ограниченной вариацией). Тогда для коэффициентов разложения (24) будем иметь неравенства вида

Отсюда на основании формул (23), (27) и (13) или (13) легко вытекают неравенства вида

из чего непосредственно следует абсолютная и равномерная сходимость рядов для при

и, значит, пригодность найденного решения.