§ 84. Общее решение первой основной задачи для областей, отображаемых на круг при помощи полиномов.

То обстоятельство, что нам удалось получить столь простые и элементарные решения для областей, рассмотренных в предыдущих параграфах этого отдела (§ 80—83), не случайно. Действительно, мы покажем, что решение основных задач всегда получается в элементарной форме, а именно, выражается через интегралы типа Коши, когда отображающая функция со рациональная.

Рассмотрим сперва первую основную задачу и начнем со случая, когда функция отображающая на круг есть полином:

не может обращаться в нуль, ибо иначе со обращалась бы в нуль в нашем круге и отображение не было бы взаимно однозначным. Постоянный же член, не нарушая общности, можно считать равным нулю, т. е. считать, что точка соответствует точке

В рассматриваемом случае функциональное уравнение (10) § 78:

определяющее функцию решается элементарно и весьма просто. В этом уравнении, напоминаем, заданная функция:

мы будем считать, как в § 78, что функция заданная на у, имеет производную, удовлетворяющую условию

В нашем случае выражение со представляет собой граничное значение рациональной функции

голоморфной вне у (ср. § 63), кроме точки где она имеет полюс порядка Поэтому эта функция может быть вне у представлена в виде

Заметим сейчас же, что для проведения решения до конца нет никакой надобности вычислять все коэффициенты разложения (5): достаточно вычислить только величины для чего требуются, как известно, самые элементарные алгебраические операции.

Вследствие того, что имеет указанный частный вид, интеграл в левой части (2) вычисляется совершенно элементарно.

Действительно, представляет собой граничное значение функции голоморфной вне у (§ 76, п. 2). Следовательно, выражение

есть граничное значение функции

голоморфной вне у, кроме точки где она имеет полюс порядка не выше

Для того чтобы найти главную часть разложения этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки, напишем разложение по степеням

(заметим сейчас же, что члены разложения, кроме выписанных, нам не понадобятся). Отсюда

и, следовательно,

Поэтому при будем иметь:

где обозначает функцию, голоморфную вне у и обращающуюся в нуль при и

Принимая во внимание формулу (7), получаем на основании формулы (4) § 70:

Таким образом, формула (2) дает сразу выражение для

В этом выражении содержатся еще не известные пока постоянные величины

эти величины должны быть определены из условия, что постоянные фигурирующие в выражении (10) для через посредство их комбинаций представляют собой

ствительно коэффициенты разложения (6). Выразим это условие. Замечая, что

имеем:

где

Сравнивая коэффициенты при в обеих частях формулы (10), получаем уравнений:

Последнее из этих уравнений дает непосредственно значение для

Остальные уравнения, на основании формул (8), запишутся так:

Мы получили таким образом систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных эта система совпадает с системой § 63, которую мы получили, решая задачу иным путем.

Полагая и отделяя в уравнениях (15) действительные части от мнимых, получаем систему действительных линейных уравнений с действительными неизвестными:

Эта система должна допускать решение, если соблюдено условие равенства нулю главного момента внешних усилий, т. е. имеет место равенство

действительно, мы знаем, что при этом условии исходная задача имеет решение, а следовательно, система (15) не может быть несовместимой.

Кроме того, на основании теоремы единственности ясно, что рассматриваемая система вполне определит искомые постоянные, если (произвольно) зафиксировать мнимую часть величины

Зафиксировав (произвольно) эту мнимую часть, найдя величины удовлетворяющие системе (15), подставив их в выражения для так же, как и значение (14) величины и внеся полученные значения в формулу (10), получим выражение для тождественно удовлетворяющее соотношению (2).

После этого функция вычислится по формуле (8) § 78:

В нашем случае второй интеграл в правой части выражается в конечном виде через функцию

В самом деле, функция

представляет собой граничное значение функции

голоморфной внутри у, за исключением точки а именно: на основании формулы (7) имеем, как легко видеть, внутри у:

Значит, на основании формулы (3) § 70

так что формула (17) принимает вид

Все сказанное с очевидными незначительными изменениями приложимо к случаю бесконечной области отображаемой на круг функцией вида

Задачу следует сперва привести к случаю, когда голоморфны внутри у (§ 78), и затем поступить, как указано выше. Здесь решение будет даже несколько проще, ибо система, аналогичная системе (15), будет всегда допускать (единственное) решение без добавочного условия (16).

Замечание 1. Решение рассмотренной в настоящем параграфе задачи можно получить еще следующим путем, приводящим по существу к тем же выкладкам, что и выше.

Замечая, что функция

Голоморфна вне 7 и имеет на бесконечности полюс порядка не выше т. е. что она представима в виде (7), где не известные заранее постоянные, получаем, как и выше, формулу (10). Постоянные же можно определить путем непосредственной подстановки выражения для получаемого из соотношения (10), в исходное функциональное уравнение (2), что дает:

Интегралы, входящие в левую часть, легко вычисляются в конечном виде, совершенно так же, как был вычислен интеграл формулы (9), и левая часть соотношения (19) обращается в полином степени коэффициенты которого содержат линейным образом величины приравнивая нулю эти коэффициенты, получим систему линейных уравнении относительно указанных величин, к решению которой и сводится решение исходной задачи.

Замечание 2. При исследовании системы (15) мы опирались не только на теорему единственности решения, но также на менее элементарную теорему существования, доказанную в § 79. Легко, однако, обойтись без применения теоремы существования, ограничившись теоремой единственности, и получить таким образом элементарное доказательство теоремы существования для интересующего нас здесь частного случая, когда со полином.

В самом деле, легко непосредственно проверить (предоставляем это читателю), что в силу условия (16), которое следует считать выполненным, одно из уравнений, получаемых разделением действительных и мнимых частей в уравнениях (15), является следствием остальных уравнений. Поэтому, если к этим уравнениям присоединим уравнение, выражающее, что мнимая часть величины равна (произвольно) заданной постоянной а (например, нулю), мы получим систему линейных уравнений с неизвестными, которая наверное разрешима,

ибо соответствующая ей однородная система, получаемая при не имеет отличных от нулевого решений в силу теоремы единственности.