I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Уравнения плоской теории упругости непосредственно применяются к двум случаям равновесия упругого тела, представляющим большой интерес для практики, а именно: к случаю плоской деформации и к случаю деформации тонкой пластинки силами, приложенными к ее обводу и действующими в ее плоскости. Эти два случая подробно охарактеризованы в двух следующих параграфах.

§ 25. Плоская деформация.

Мы будем говорить, что тело подвержено плоской деформации, параллельной плоскости если компонента смещения равна нулю, а компоненты зависят только от но не от . В этом случае будем иметь:

и из формул (2) § 20 получим выражения для компонент напряжения:

Предыдущие уравнения показывают, что компоненты напряжения также не зависят от координаты z (так как от нее не зависят).

Далее, первые два уравнения (1) того же § 20 примут вид:

а третье обратится в равенство показывающее, что при плоской деформации компонента объемной силы по направлению, перпендикулярному к плоскости деформации, должна равна нулю. Предыдущие же уравнения показывают, что компоненты объемной силы не зависят от

Итак, в конечном счете, уравнения статики упругого тела в случае плоской деформации, параллельной плоскости сводятся к следующим:

причем все входящие в эти уравнения величины не зависят от координаты компонента (также не зависящая от дается формулой или, замечая, что в силу уравнений (2)

формулой

где коэффициент Пуассона.

Мы намеренно выделили уравнение (3), определяющее так как решение системы (1) и (2) представляет собой основную задачу, определяется по формуле (3) после ее решения.

Остается теперь указать те случаи, когда может иметь место только что охарактеризованная плоская деформация.

Предположим, что мы имеем дело с цилиндрическим (призматическим) телом, образующие боковой поверхности которого параллельны оси ограниченным с двух сторон плоскостями (основаниями), нормальными к боковой поверхности (рис. 11).

Рис. 11.

Предположим, далее, что внешние напряжения, приложенные к боковой поверхности, параллельны плоскости Оху и не зависят от координаты z и что тому же условию удовлетворяют объемные силы. Объемные силы, а также внешние напряжения на боковой поверхности будем считать заданными.

Посмотрим, возможна ли при этих условиях плоская деформация нашего цилиндра. Для этого необходимо и достаточно, чтобы уравнения 1) и (2) имели решение удовлетворяющее на боковой

поверхности цилиндра граничным условиям:

где заданные компоненты вектора внешнего напряжения, действующего на боковую поверхность, а обозначает внешнюю нормаль, условия (4) получаются из формул (2) § 3, определяющих вектор напряжения, действующего на площадку с нормалью Мы пришли, таким образом, к задаче, вполне аналогичной первой основной граничной задаче теории упругости для общего случая (§ 20); здесь мы имеем только более простой случай, так как неизвестные функции зависят лишь от двух переменных х, у и вместо рассмотрения всей области, занятой телом, можно ограничиться рассмотрением лишь одного из его сечений плоскостью, параллельной плоскости Иными словами, мы имеем дело с двумерным аналогом задачи § 20.

При некоторых условиях общего характера можно показать (см. гл. V), что наша двумерная задача всегда имеет решение, цритом единственное (с точностью до жесткого перемещения тела, параллельного плоскости если только совокупность объемных сил и сил, приложенных к боковой поверхности, статически эквивалентна нулю.

Пусть решение нашей двумерной задачи. Вычислив по формуле (3) и считая мы получим решение, отвечающее всем поставленным условиям.

Мы видим, что при этом основания цилиндра не свободны от напряжений, но подвержены нормальным усилиям, а именно: на верхнее основание действует нормальное напряжение определяемое формулой (3), а на нижнее — напряжение Приложение этих напряжений, как мы видим, необходимо для поддержания деформации плоской.

Как было сказано, задание объемных сил и напряжений, действующих на боковую поверхность, определяет функции 3) следовательно, и Таким образом, выбор напряжений, приложенных к основаниям, уже от нас не зависит.

Это обстоятельство на первый взгляд умаляет значение рассмотрения плоской деформации. Но на самом деле это неудобство очень легко устранить в случае длинного цилиндра (цилиндра, высота которого велика по сравнению с поперечными размерами). Действительно, для устранения упомянутых напряжений, действующих на основания, достаточно на полученное решение наложить решение задачи равновесия нашего цилиндра

в предположении, что объемные силы отсутствуют и что его боковая поверхность свободна от внешних напряжений, а основания подвержены усилиям, равным по величине и противоположным тем, которые мы желаем устранить.

Рассмотрим эти последние усилия, приложенные к одному из оснований. Так как все они параллельны оси то совокупность их статически эквивалентна одной силе, параллельной той же оси, приложенной, скажем, в (геометрическом) центре тяжести основания, и паре, плоскость которой также параллельна оси Oz. Совокупность напряжений, приложенных к другому основанию, статически эквивалентна силе и паре, статически уравновешивающим предыдущие.

Но вопрос об упругом равновесии (длинного) цилиндра под влиянием усилий, приложенных к основаниям и статически эквивалентных растягивающим силам и изгибающим парам, принадлежит к числу наиболее простых вопросов теории упругости и решается элементарным путем (см. главу VII). Поэтому всегда весьма простым приемом мы можем устранить усилия, приложенные к основаниям.

Тогда из полученного решения задачи о плоской деформации цилиндра усилиями указанного выше типа, приложенными к боковой поверхности, получим решение задачи равновесия цилиндра под влиянием тех же усилий, но в предположении, что основания свободны от напряжений; в этом последнем случае деформация уже, вообще говоря, не будет плоской.