§ 126. Решение первой и второй основных задач.

Эти задачи для областей рассматриваемого вида были уже решены нами в предыдущей главе. Формулы, приведенные в предыдущем параграфе, дают также возможность весьма просто решить эти задачи. Например, в случае первой основной задачи, когда граничное условие имеет вид

где и заданные функции точки а окружности а именно: заданные внешние нормальное и касательное напряжения в точке контура соответствующей точке из формулы (10) предыдущего параграфа выводим:

Таким образом, для определения функции мы получили точно такое же граничное условие, как и в случае, когда область круг (§ 122, п. 1). Существенная разница лишь в том, что на этот раз искомая функция может иметь полюсы вне последнее обстоятельство надо учесть при составлении общего решения граничной задачи (2).

С практической точки зрения удобнее несколько видоизменить условие (2), а именно представить его в виде

и в качестве искомой функции взять функцию Распределение полюсов этой последней было указано в предыдущем параграфе; напомним, что в случае, когда область бесконечна, функция может иметь полюс (не выше второго порядка) также внутри у, а именно в точке

Общее решение задачи (2) имеет вид

где рациональная функция, общее выражение которой легко написать, так как нам известны все возможные полюсы функции и их максимальные порядки.

Неопределенные постоянные коэффициенты, входящие в выражение определятся из следующих дополнительных условий:

1°. Функция определяемая формулой (8) § 125, должна быть голоморфной внутри у.

2°. В случае, когда область бесконечна, напряжения должны иметь заданные значения на бесконечности, а смещения должны быть однозначными.

Условие 1° выражается соотношениями (14) § 125, представляющими собой линейные алгебраические уравнения относительно действительных и мнимых частей искомых коэффициентов; аналогичными уравнениями выразится условие 2°. Эти уравнения полностью определяют искомые постоянные, за исключением одной действительной постоянной в соответствии с тем, что функция определяется лишь с точностью до слагаемого вида где С — произвольная действительная постоянная. В случае конечной области упомянутые уравнения будут совместимы лишь при условии, что главный вектор и главный момент внешних усилий равны нулю.

Высказанные утверждения непосредственно вытекают из теоремы единственности и существования решения.

Совершенно аналогично решается и вторая основная задача, сводящаяся на основании формулы (13) § 125 к определению функции по граничному условию

где

причем где граничные значения компонент смещения.

Вычисления, которые приходится производить при решении первой и второй основных задач по указанному здесь способу, приводят к тем же примерно вычислениям, что и по методу, изложенному в предыдущей главе. Поэтому мы на подробностях останавливаться не будем, тем более что первая и вторая основные задачи представляют собой частные случаи

основной смешанной задачи, которая будет более подробно рассмотрена в следующем параграфе.

Замечание 1. Условия 2°, относящиеся к случаю первой основной задачи для бесконечной области выражаются соотношениями (17), (18) § 125, в которых следует считать заданными значения действительной части В постоянной и постоянную определяемые значениями компонент напряжения на бесконечности. Постоянные можно оставить неопределенными: они сами определятся из остальных условий, названных выше. Однако можно их заранее вычислить по заданным граничным значениям напряжений; тогда, требуя, чтобы функции удовлетворяли условиям (17), (18), мы получим лишние соотношения, которыми можно заменить некоторые из других менее простых соотношений между искомыми величинами.

В случае второй основной задачи для бесконечной области постоянные следует считать заданными, как и постоянные .

Замечание 2. При решении первой и второй основных задач можно, конечно, исходить соответственно из формул (12) и (11) § 125. Это особенно удобно в случае конечной области, ибо тогда искомая функция однозначна. Но и в случае бесконечной области многозначность искомой функции легко устранить путем выделения логарифмического члена, подобно тому, как мы поступали в предыдущей главе.