III. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Все сказанное до сих пор может быть отнесено к любым сплошным телам. Для того, чтобы получить уравнения, характеризующие тела, которые мы называем упругими (вернее, идеально упругими) твердыми телами, необходимо еще иметь закон, выражающий связь между напряженным состоянием тела и вызванной им деформацией.

§ 16. Основной закон теории упругости (обобщенный закон Гука).

1. Первая, весьма неполная, формулировка закона, связывающего напряжение с деформацией, принадлежит Гуку (Robert Hooke, 1635-1702). Закон, называемый его именем, был найден им в 1660 г., опубликовав в виде анаграммы в 1676 г., а в явном виде в 1678 г. В переводе на современный язык содержание, которое вкладывает Гук в свой закон, можно передать приблизительно так: «Деформация упругого тела пропорциональна действующему на него усилию». В эту формулировку можно вложить определенное содержание в том только случае, когда «усилие», действующее на тело, и вызванная им деформация могут быть охарактеризованы одной величиной каждая.

Например, если мы имеем длинный и тонкий цилиндрический стержень, растягиваемый продольными силами, приложенными на концах, то можно принять, что усилие, которому подвержено тело, характеризуется заданием величины F растягивающей силы, а деформация — удлинением стержня. В этом случае закон Гука дает где С — постоянная зависящая только от первоначальной длины I стержня, формы и размеров поперечного сечения и материала стержня. Можно привести еще много примеров подобного рода.

Эксперименты подтвердили, что закон Гука хорошо согласуется с действительностью для многих твердых тел, но всегда при условии достаточно малых деформаций. Начиная с определенной величины деформации, закон пропорциональности перестает быть даже приблизительно справедливым.

Однако и в случае малых деформаций, когда закон пропорциональности можно считать справедливым, приведенный выше закон Гука

не может дать полной картины того, что в действительности происходит в деформированном теле. В самом деле, мы видели, что деформированное и напряженное состояния характеризуются шестью величинами каждое, причем эти величины изменяются от одной точки тела к другой, так что мы в действительности имеем дело с бесчисленным множеством величин, характеризующих состояние тела в целом.

Например, в приведенном выше случае мы говорили о растягивающих силах приложенных к концам цилиндрического стержня. На самом деле «сила» F выражает только суммарный эффект внешних напряжений, приложенных вблизи концов стержня. Эти напряжения могут быть распределены самым различным образом; например: могут быть распределены на основаниях или на участках боковой поверхности вблизи оснований; распределение может быть равномерным или неравномерным и пр.

Ясно, что от способа распределения внешних напряжений существенно зависит распределение напряжений и деформаций внутри стержня. Только в том случае, когда размеры поперечного сечения стержня малы в сравнении с длиной, способ распределения внешних усилий около концов не отражается заметно на состоянии стержня (и то только в частях, не очень близких к концам), и мы можем ограничиться рассмотрением только суммарной «силы» F (об этом см. также § 23).

Итак, очевидно, что если мы не хотим ограничиться грубым, примитивным описанием явлений, мы должны заменить закон Гука более общим, глубже проникающим в сущность дела.

Наиболее естественным обобщением закона простой пропорциональности двух величин можно считать закон линейной зависимости между несколькими величинами. Поэтому как наиболее естественное обобщение первоначального закона можно рассматривать следующий основной закон теории упругости или обобщенный закон Гука:

Компоненты напряжения в данной точке тела суть линейные и однородные функции компонент деформации в той же точке (и обратно).

Речь, конечно, идет о малых деформациях.

В этом, по существу, виде закон был дан Коши в несколько уже раз упомянутом (см. стр. 18) мемуаре, доложенном Парижской Академии в 1822 г. В следующей работе, опубликованной в 1828 г., Коши выводит этот закон, базируясь на молекулярной теории, при простейших предположениях относительно сил взаимодействия между молекулами, которые рассматриваются им как материальные точки. Тот же результат был получен Пуассоном (S. D. Poisson, 1781-1840) аналогичным методом в мемуаре, доложенном Парижской Академии в 1828 г. и опубликованном в 1829 г.

Мы не станем здесь излагать выводов Коши и Пуассона, тем более что они оказались недостаточными (см. ниже), и примем обобщенный

закон Гука как исходный пункт нашей теории, базируясь на том, что закон этот при малых деформациях достаточно хорошо согласуется с действительностью для очень многих материалов.

2. Прежде, чем идти дальше, необходимо сделать следующее замечание. Так как вообще напряжения и деформации различны в различных местах тела, то можно говорить только об их компонентах в данной точке. Так мы и поступали выше. Однако выражение в «данной точке» мы понимали различным образом в применении к компонентам деформации и к компонентам напряжения. Именно, когда мы говорили, например, что есть функция координат мы под (х, у, z) понимали положение точки до деформации. Это же относится к компонентам смещения. Когда же мы говорили, например, что есть функция от х, у, z, мы под (х, у, z) понимали положение точки при окончательном (напряженном, а следовательно, и деформированном) состоянии тела.

Однако при рассматриваемых вами малых деформациях это различие несущественно, так как, например, значения величины в точках где (х, у, z) есть положение точки до деформации, различаются на величину, малую по сравнению с Таким образом, значение функции в данной точке деформированного тела мы можем заменять значением этой функции в точке (х, у, z).

Во всем последующем мы будем брать значения всех рассматриваемых функций в (геометрических) точках, представляющих собой начальные положения точек деформированного тела.

В соответствии с этим, говоря в дальнейшем об области V, занятой телом, и о ее границе мы всегда будем иметь в виду Область, занятую телом до деформации, и ее границу.

3. Вернемся к обобщенному закону Гука. Этот закон при помощи формул может быть записан следующим образом. Если суть компоненты напряжения в данной точке тела, а компоненты деформации, то

множитель 2 в некоторых членах правых частей введен для удобства; см. ниже соотношения (2).

Так как на основании принятого основного закона компоненты деформации суть также определенные линейные функции от компонент напряжения, то предыдущие уравнения должны быть разрешимы относительно т. е. определитель, составленный из коэффициентов должен быть отличен от нуля.

Величины суть постоянные, характеризующие упругие свойства тела в данной точке. Они носят названия упругих постоянных. Слово «постоянные» надо понимать в том смысле, что эти величины не зависят от значений компонент деформации и соответствующего напряжения в данной точке. Однако они могут иметь различные значения в различных точках тела. Тогда мы будем говорить, что тело (в смысле упругих свойств) неоднородно. Если же упругие постоянные одни и те же для всех точек тела, то тело будет однородным.

Формулы (1) содержат, как мы видим, 36 упругих постоянных.

Однако при помощи соображений, основанных на законе сохранения энергии и на рассмотрении потенциальной энергии деформации, можно показать, что между этими постоянными должны существовать соотношения

иначе говоря, что таблица коэффициентов симметрична. Таким образом, число упругих постоянных в самом общем случае может быть сведено к 21.

Как мы увидим в следующем параграфе, в случае изотропного тела число упругих постоянных сводится к двум.

По старой теории Коши, основанной на рассмотрении молекулярных сил, число упругих постоянных в самом общем случае равно не 21, а 15; в случае же изотропного тела, по теории Коши, мы должны иметь всего одну упругую постоянную. К тому же результату пришел Пуассон. Однако это не подтвердилось на опыте. Не надо, впрочем, думать, что к неправильному результату привела молекулярная теория и что, исходя из нее, нельзя получить должного числа постоянных. Дело только в том, что Коши и Пуассон применяли молекулярную теорию в слишком упрощенном виде. Основываясь на современных взглядах на строение материи, можно получить полный результат, т. е. все 21 постоянную. Это и было сделано сравнительно недавно Борном (М. Born).

Мы не останавливаемся подробнее на всем этом, так как в дальнейшем будем изучать только изотропные тела. В этом же случае можно получить окончательные формулы при помощи очень простых соображений.