§ 93. Решение первой основной задачи для полуплоскости.

Пусть тело занимает нижнюю полуплоскость. По условию задачи имеем:

где и заданные функции абсциссы (нормальное и касательное напряжения).

По формуле (8) § 32 имеем, применяя обозначения § 90, 91:

Значит, граничное условие может быть написано так

или, что все равно,

Под левой частью формулы (3) следует подразумевать граничное значение правой части формулы (2); аналогично для формулы (4). В дальнейшем для простоты мы будем считать (если противное не оговорено) что существуют и граничные значения функций в отдельности.

Мы будем предполагать далее, что непрерывные функции, удовлетворяющие условию (9) § 90, т. е.

Выражая, что функция определяемая условием (4), представляет собой граничное значение некоторой функции голоморфной в нижней полуплоскости и исчезающей на бесконечности, получаем, применяя формулу (21) § 76:

где произвольная точка нижней полуплоскости.

Если теперь примем во внимание, что граничное значение функции голоморфной в нижней полуплоскости и исчезающей на бесконечности, а граничные значения функций голоморфных в верхней полуплоскости и также исчезающих на бесконечности, то на основании формул (2), (2) § 72 заключаем, что в предыдущей формуле второй интеграл равен — а два последних равны нулю. Следовательно,

Найдя мы найдем и применяя формулу (2) § 72, так как граничное значение дается формулой (4). Таким образом, получим после простых преобразований, основанных на формулах § 72:

Легко проверить на основании сказанного в § 68, в п. 1 § 69 и в конце § 71, что если функции и их первые производные удовлетворяют условию в конечных точках, а произведения удовлетворяют условию II также в окрестности бесконечно удаленной точки, то выражения, полученные для и удовлетворяют всем поставленным условиям. В частности, функции непрерывны вплоть до границы, а при больших имеют требуемый вид, определяемый формулами (1) и (5) § 90. Таким образом задача решена.

Результат по существу совпадает с результатом Г. В. Колосова полученным иным путем. Позднее Садовский [1,2] дал также (независимо от Г. В. Колосова) решение этой задачи.

Замечание 1. Легко непосредственно проверить на основании результатов, указанных в § 68 и в п. 2 § 69, что если и удовлетворяют лишь условию (включая бесконечно удаленную точку), то компоненты смещения и напряжения, соответствующие функциям определяемым формулами (6), (7), будут непрерывны вплоть до границы и что граничное условие (1) будет удовлетворено. Функции же и при этом могут не быть непрерывно продолжимы на границу, что и не требуется постановкой задачи; непрерывно продолжимыми на границу будут функция и комбинация

Замечание 2. Правые части формул (6) и (7) представляют собой, очевидно, голоморфные функции как в нижней, так и в верхней полуплоскости, но они, вообще говоря, не являются аналитическими на общей границе Ох полуплоскостей. Однако ясно, что если какой-либо участок границы остается незагруженным, то правые части формул (6) и (7) будут аналитическими также на этом участке и что, следовательно, функции могут быть аналитически продолжены из нижней полуплоскости в верхнюю через этот участок.

Легко доказать это свойство решения непосредственно, не опираясь на формулы (6) и (7). Действительно, введем обозначение

так как по предположению функции и голоморфны в нижней полуплоскости, то также голоморфна в ней. Рассмотрим далее функции

голоморфные в верхней полуплоскости. Как показывают формулы (3), (4), на любой незагруженной части оси Ох будем иметь:

где под подразумеваются граничные значения, принимаемые соответствующими функциями при из нижней полуплоскости, а под граничные значения, принимаемые соответствующими функциями при из верхней полуплоскости.

Из первого равенства (9) следует, что функция голоморфная в верхней полуплоскости, представляет собой аналитическое продолжение функции из нижней полуплоскости в верхнюю, что и доказывает аналитическую продолжимость функции Аналогично, на основании второго равенства (9), заключаем, что функция аналитически продолжима в верхнюю полуплоскость, где она принимает значение . Отсюда на основании формулы (8) следует и аналитическая продолжимость функции Таким образом, наше утверждение доказано.

Из него, в частности, следует, что если загружен только конечный участок границы, то функции и разложимы в ряды Лорана при достаточно больших

Полученные здесь результаты дают простое средство изучить поведение функций и при больших если задан характер поведения компонент напряжения на бесконечности. Вспомним, что в § 90 мы задались поведением функций на бесконечности, что, конечно, носит искусственный характер. Теперь же легко устранить (или уменьшить) искусственность, а именно: нетрудно доказать, что функции и необходимо имеют вид, определяемый формулами (1) § 90, если загружен только конечный участок границы и если напряжения подчинены, например, условию, что величины

стремятся к нулю, когда z удаляется в бесконечность по любому пути (оставаясь, разумеется, в нижней полуплоскости). Мы не останавливаемся здесь на доказательстве, которое читатель может легко провести.

Замечание 3. В работах Л. А. Галина, (см. его монографию [4]) решения основных задач для полуплоскости выражаются через две аналитические функции о»! определяемые формулами (при наших обозначениях):

Эти функции легко выразить через функции а именно, из формул (6) и (7) непосредственно вытекает, что

Так же просто выражаются функции через функции а именно:

Поэтому использование функций вместо функций не приводит к принципиально новым методам решения основных граничных задач.