§ 77. Простейшие приложения: решение основных задач теории потенциала для круга и полуплоскости.

В качестве простейших примеров приложения предыдущих результатов дадим решение основных задач теории логарифмического потенциала для круга и полуплоскости.

Под первой основной задачей (задача Дирихле) мы подразумеваем задачу нахождения гармонической в данной области функции по заданным ее граничным значениям.

Вторая же основная задача (задача Неймана) состоит в нахождении гармонической в данной области функции по заданным граничным значениям ее нормальной производной.

1. Первая основная задача для круга. Для сокращения письма примем радиус круга равным 1 и поместим начало координат

в центре. Окружность круга обозначим по-прежнему через у, а точки на у будем обозначать через другие точки на плоскости будем обозначать через

Обозначим искомую гармоническую функцию через и пусть гармоническая функция, сопряженная с Эта функция определяется, как мы знаем, с точностью до произвольной постоянной, если известна функция

Положим:

функция должна быть голоморфной внутри у.

По условию задачи искомая функция должна принимать определенные граничные значения при стремлении (разумеется, изнутри к точкам а на у, равные заданной на у действительной функции Эту функцию мы можем обозначить через или мы выберем последнее обозначение и будем считать, что заданная функция непрерывна на всей окружности. Граничное условие задачи в соответствии с предыдущим запишется так:

где для упрощения мы пишем вместо

Мы несколько ограничим задачу, считая, что определенные граничные значения принимает не только функция но и сопряженная с ней функция а следовательно, и функция Обозначая просто через мы можем теперь записать граничное условие (2) так:

Умножая предыдущее равенство на где точка внутри у, и интегрируя по у, получаем:

На основании теоремы Гарнака (§ 75), это условие вполне эквивалентно предыдущему (см. замечание 1 в конце § 75).

Первый интеграл левой части по теореме Коши равен второй же интеграл на основании формулы (18) § 76 равен

где действительные (пока неизвестные) постоянные.

Таким образом, имеем:

Остается определить Для этого положим в предыдущей формуле тогда получим:

По предыдущей формуле определяется величина же остается совершенно произвольной, ибо функция сопряженная с определена только с точностью до произвольной действительной постоянной, а следовательно, функция с точностью до чисто мнимой постоянной.

Внося значение в формулу (5), получаем:

Последняя формула есть известная формула Шварца; искомая гармоническая функция получается из нее отделением действительной части:

Мы доказали только, что если решение задачи, удовлетворяющее всем поставленным условиям, существует, то оно необходимо дается предыдущей формулой. Остается показать, что она действительно дает решение.

Мы покажем это, предполагая, что заданная функция удовлетворяет условию В этом случае на основании сказанного в § 68 функция определяемая формулой (7), принимает определенные граничные значения, и эти граничные значения, как вытекает из самого вывода, удовлетворяют условию (3); следовательно, функция удовлетворяет условию (2).

Полагая в формуле (7)

легко получаем известную формулу Пуассона:

решающую поставленную задачу без посредства комплексной переменной.

2. Вторая основная задача для круга. Пусть обозначает то же, что выше; будем считать, что производная принимает определенные граничные значения Из равенства

выводим:

Граничное условие рассматриваемой задачи имеет вид (через обозначаем внешнюю нормаль):

где заданная непрерывная функция.

На основании формулы (9) граничное условие можно переписать так:

Применяя тот же прием, что и выше, получаем:

где произвольная точка внутри у. Отсюда, применяя формулу Коши и формулу (18) § 76 и замечая, что обращается в нуль при выводим:

Эта формула определяет и показывает, что для разрешимости задачи правая часть формулы (12) должна обращаться в при Значит, условие разрешимости задачи будет:

В противоположность задаче Дирихле, задача Неймана допускает решение не всегда, а только при добавочном условии (13).

При соблюдении этого условия функция определяемая формулой (12), будет голоморфной и при Функция определяется

квадратурой:

где обозначает произвольную комплексную постоянную. Значение искомой функции определяется, таким образом, с точностью до произвольной (действительной) постоянной. Это надо было предвидеть, ибо если есть решение задачи Неймана, то очевидно, будет решением той же задачи.

Легко видеть (ср. предыдущий случай), что полученные формулы действительно решают поставленную граничную задачу, если, например, заданная функция удовлетворяет условию

Проинтегрировав правую часть (14) под знаком интеграла, заметив, что

и принимая во внимание условие (13), получим формулу, указанную Боджо

отделяя же действительную часть от мнимой, получаем формулу Дини

где действительная произвольная постоянная.

В большинстве приложений удобно, однако, пользоваться формулами (12) и (14).

3. Первая и вторая основные задачи для полуплоскости могут быть сведены к соответствующим задачам для круга путем конформного отображения полуплоскости на круг либо решены непосредственно способом, аналогичным тому, каким мы решили эти задачи для круга в настоящем параграфе. Ввиду Цолной аналогии с предыдущим мы ограничимся краткими указаниями.

Пусть действительная непрерывная функция, заданная на действительной оси и пусть требуется найти функцию гармоническую в верхней полуплоскости и принимающую на граничные значения включая бесконечно удаленную точку, так что при , где а — действительная постоянная:

Вводя функцию комплексного переменного

голоморфную в и считая, что эта функция принимает определенные граничные значения для всех точек на включая бесконечно удаленную точку, можем записать граничное условие задачи так:

где вместо мы пишем просто Вводя обозначение:

где а определяется по (17), некоторая другая действительная постоянная, умножая обе части предыдущего равенства на где произвольная точка из и интегрируя по получаем:

Замечая, что есть граничное значение функции голоморфной в верхней полуплоскости, граничное значение функции голоморфной в нижней полуплоскости, причем и применяя формулы (1), (1) § 72, заключаем, что первый интеграл в левой части равен а второй равен

Следовательно,

величина как и следовало ожидать, остается произвольной.

Легко проверить, что если, например, функция удовлетворяет условию (включая бесконечно удаленную точку; см. § 71), то формула (20) решает задачу.

Аналогично решается вторая основная задача.