§ 153. Бесконечная плоскость с одним отверстием.
Случай одного отверстия в однородной бесконечной среде поддается исследованию сравнительно легко. Вопрос о концентрации напряжений в этом случае давно привлекал внимание исследователей, так что к настоящему времени он изучен с достаточной полнотой.
Здесь мы дополним то, о чем было кратко сказано в § 89 настоящей книги.
Если функция, реализующая конформное отображение внешности отверстия на круг, рациональна, то при решении задачи не возникает принципиальных затруднений. В случае более общего очертания контуров отверстий, когда эта функция уже не рациональная, обычно используется способ решения, основанный на приближенном конформном отображении. Один из возможных подходов такого рода был предложен в свое время Г. Н. Савиным. Напомним сущность его метода (см. § 89).
Будем рассматривать задачу о напряжениях в бесконечной плоскости, ослабленной отверстием в форме прямолинейного многоугольника. Отобразим данную область посредством интеграла Кристофеля — Шварца на единичный круг вспомогательной плоскости 
и представим отображение в виде разложения в ряд по степеням Удержав в этом ряду конечное число первых его членов, мы получим приближенное отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру кривую, при помощи рациональной функции вида:
или в частном случае
где 
некоторые постоянные. Изменяя в формуле (1) число 
и постоянные 
можно получить отверстия различных форм и размеров. Отсюда как частные случаи получаются отверстия, имеющие форму круга, эллипса, криволинейного четырехугольника и треугольника, овала, близкого к прямоугольнику, закругленному полуокружностями у коротких сторон, и др. Например, последняя из перечисленных форм отверстия, представляющая значительный практический интерес,
получится при помощи отображения (1) при 
Плоская задача в случае такого отверстия была, по-видимому, впервые исследована в работе Гринспэна (Greenspan [1]).
Если отображение представлено в указанной только что форме, метод Мусхелишвили немедленно приводит к требуемому результату.
Этим приемом Г. Н. Савиным и его учениками было рассмотрено большое число конкретных задач в случае криволинейных отверстий названного вида для различных их расположений по отношению к внешним усилиям и различных отношений характерных размеров. Решения почти во всех примерах представлены в легко обозримом виде и сопровождаются графиками распределения напряжений по контуру отверстия, таблицами и диаграммами. Значительная часть этих результатов подробно изложена в монографии Г. Н. Савина [8].
Подход Г. Н. Савина дал широкие возможности для применения методов теории функций 
эффективному рассмотрению известного класса конкретных практических задач. В результате этих исследований интерес к концентрации напряжений в ослабленных отверстиями упругих телах значительно возрос. Круг вопросов существенно расширился и стал предметом изучения многих авторов.
Следуя Г. Н. Савину, А. А. Бойм [1] рассмотрел задачу о равновесии тяжелой полуплоскости, ослабленной сводчатым отверстием, отображение внешности которого на круг дается четырехчленной формулой вида (1) (см. также Бойм [2]); Г. С. Грушко [1] исследовал поле напряжений вблизи полукруглого отверстия, определяемого приближенно формулой отображения (1) с пятью членами, в изгибаемой моментами изотропной балке. В. Н. Кожевникова [1] в задаче о пластинке с прямоугольным отверстием, изгибаемой в своей плоскости, удержала в разложении отображающей функции слагаемые до девятой степени Далее, в работах Ю (Yi-Yuan Yu [3]) и Э. С. Хачияна [1] рассмотрен случай овалообразного отверстия, определяемого трехчленным выражением, причем в первой из этих работ изучены напряжения возле жесткого подкрепления, а во второй — в растягиваемой пластинке без подкрепления. Е. Ф. Бурмистров [1, 2] рассмотрел более общий случай одного класса криволинейных отверстий, как в случае плоской деформации, так и применительно к задаче об изгибе тонких пластинок и провел на конкретных примерах подробные вычисления. Аналогичные задачи рассматривались также в работах Эван-Ивановского (Evan-Iwanowski [1]), Е. П. Аникина [1] и Исида (Isida [1]). В работе Конроя (Conroy [1]) рассмотрен случай общего вида симметричного относительно прямой отверстия в незагруженном на бесконечности однородном теле, когда на взаимно симметричных и равных по полярному углу участках обвода отверстия приложены равномерные нормальные усилия одной и той же интенсивности. Решение здесь дается при помощи метода, основанного на применении конформного отображения и степенных рядов, указанного в § 63 настоящей книги.
