§ 164. Стационарные динамические смешанные задачи.

Представляют интерес работы, посвященные применению методов теории функций комплексного переменного к решению стационарных динамических смешанных задач теории упругости. Впервые такие задачи были поставлены и исследованы в работах Л. А. Галина [1, 4].

Л. А. Галин рассмотрел задачу о штампе, движущемся с постоянной скоростью V, меньшей скорости распространения поперечных волн вдоль границы упругой полуплоскости. Он исходил из динамических уравнений теории упругости в смещениях. Перейдя от неподвижных координат х, у к подвижным координатам

в которых задача оказывается стационарной, Л. А. Галин выразил компоненты смещения через вторые производные некоторой функции, для которой после преобразования переменных получил линейное уравнение в частных производных четвертого порядка с постоянными коэффициентами, аналогичное тому, которое получается для функции напряжений в плоской задаче теории анизотропной упругости. Следуя С. Г. Лехницкому, Л. А. Галин составил общее решение упомянутого уравнения, которое приводит к следующим выражениям для напряжений и смещений:

где величины, зависящие от упругих постоянных материала и безразмерной скорости штампа Здесь и далее используются обозначения:

— постоянные Ламе, плотность материала. Функции представляют собой аналитические функции комплексных переменных

производные которых связаны линейными зависимостями с другими аналитическими функциями Эти последние функции в свою очередь определяются формулами:

Далее, имеет место соотношение

где введены обозначения:

В силу формул Сохоцкого — Племеля (§ 68) имеем на границе полуплоскости при

Предыдущие формулы дают возможность привести задачу о стационарно движущемся штампе к задаче Римана — Гильберта для функций

Л. А. Галин предполагает, что на поверхности штампа действуют силы кулонова трения с коэффициентом к, так что к Таким образом, если штамп простирается от до то задача Римана — Гильберта для определения аналитической в нижней полуплоскости функции принимает вид

В частности, для случая, когда коэффициент трения равен нулю, для определения получается смешанная задача, та же, что и для неподвижного штампа. Когда известна, находится элементарно. Решение этих задач получается в замкнутом виде применением хорошо известных методов (см. Мусхелишвили [25]). Л. А. Галиным подробно исследованы различные частные случаи (в частности, случай параболического штампа) и вычислены распределения нормальных и касательных напряжений под штампом.

Стационарные динамические задачи для полуплоскости были независимо, но позднее рассмотрены методом, близким к изложенному, Снеддоном (Sneddon [4]), исследовавшим также частный случай равномерно движущейся по границе полуплоскости сосредоточенной силы. Радок (Radok [1]) также независимо пришел к изложенному методу, исходя из уравнений в напряжениях. Им были рассмотрены примеры движущегося параболического штампа, движущейся дислокации и движущейся трещины постоянной длины в однородном поле растягивающих напряжений. Следует отметить, что две последние задачи были исследованы ранее, соответственно, в работах Эшелби (Eshelby [1]) и Иоффе (Yoffe [1]), использовавших другой метод.

В работе Крэггса (Craggs [1]) была по существу тем же методом рассмотрена задача о полубесконечной прямолинейной трещине, распространяющейся с постоянной скоростью под действием перемещающейся с той же скоростью нагрузки.

В работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Черепанова [2], выполненной одновременно с предыдущей, была исследована стационарная задача о расклинивании хрупкого тела движущимся с постоянной скоростью тонким жестким полубесконечным клином, так что перед клином движется свободная трещина.

В обеих последних работах было обнаружено любопытное обстоятельство: оказалось, что при стремлении скорости перемещения нагрузки (или клина) к скорости распространения поверхностных волн Релея, несколько меньшей скорости распространения поперечных волн, наступают своеобразные резонансные явления. В частности, напряжения во всех точках тела стремятся при этом к бесконечности, а длина свободной трещины перед клином стремится к нулю. Это привело авторов указанных работ к заключению, что релеевская скорость является предельной скоростью

распространения трещин. Следует отметить, что резонансные явления возникают при стремлении скорости к релеевской не только в задачах, связанных с трещинами, но и в задачах о подвижном штампе и прочих стационарных динамических задачах рассматриваемого типа.

Во всех перечисленных работах скорость движения нагрузки предполагалась дозвуковой. В работе Коула и Хута (Cole a. Huth [1]) задача о перемещении сосредоточенной силы по границе полупространства, исследованная впервые Снеддоном (Sneddon [4]), была рассмотрена для произвольных скоростей, в том числе лежащих в интервале между скоростью распространения поперечных и скоростью распространения продольных волн и скоростей, больших скорости распространения продольных волн.

В работе Эрингена (Eringen [1]) была рассмотрена задача о диске, по поверхности которого с постоянной угловой скоростью движется нагрузка. Эта задача естественно обобщает рассмотренные выше задачи о нагрузке, движущейся с постоянной скоростью вдоль границы полуплоскости.