III. РЕШЕНИЕ ДЛЯ КРУГОВОГО КОЛЬЦА

§ 59. Решение первой основной задачи для кругового кольца.

Рассмотрим случай, когда область занятая телом, есть круговое кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями радиусов с центром в начале координат. Пусть заданы внешние напряжения, действующие на т. е. заданы значения выражения на и на как функции угла Разлагая это выражение как на так и на в комплексные ряды Фурье, будем иметь:

Граничные условия напишутся так (ср. § 56):

На основании формулы (2) § 35

где А — действительная постоянная, а функция голоморфна в центре кольца и, следовательно, разлагается в ряд Лорана. Функция голоморфна в рассматриваемой области (§ 35) и, следовательно, также разлагается в ряд Лорана. Таким образом, внутри будем иметь:

Требование однозначности смещений выражается равенствами (7) § 35:

Но мы пока не будем обращать внимания на это условие, что даст нам возможность получить некоторые интересные результаты.

В частности, мы будем пока считать А произвольно заданной действительной величиной.

Внося выражения (3) в условия (2), получаем после очевидных простых преобразований:

Сравнение членов, не зависящих от дает:

мы ввели здесь предположение, что т. е. что действительная величина, как мы всегда имеем право сделать.

Сравнение членов при дает при

Этим исчерпываются все условия. Исключая из уравнений получаем:

Возможность этого равенства требует, так как действительная величина, чтобы

Как показывают простые вычисления, это условие выражает, что главный момент внешних усилий должен равняться нулю.

Перейдем к определению остальных искомых коэффициентов. Разделив первое уравнение (6) на а второе на и вычтя одно из другого, получаем первую из следующих формул:

где для краткости положено:

Второе уравнение (9) получено из первого заменой к на —к и переходом к сопряженным значениям.

Система двух уравнений (9) при данном значении к дает возможность определить если только определитель этой системы

отличен от нуля.

Определитель обращается в нуль при и легко убедиться, что при всех других значениях к он отличен от нуля. Значение нас не интересует. При уравнения (9) дают систему

При мы, как и следовало ожидать, не получим ничего нового (получим систему, выводимую из предыдущей путем перехода к сопряженным значениям). Итак, чтобы решение задачи было возможным должно быть, кроме условия (8), еще т. е.

Простые выкладки показывают, что это условие есть не что иное, как условие равенства нулю главного вектора внешних усилий.

При соблюдении этого условия система (12) становится разрешимой, но не дает возможности вычислить оба коэффициента и один из

них может быть взят произвольно, пока не принято во внимание условие однозначности смещений.

Все остальные коэффициенты найдутся решением уравнений (9). При данном к одновременно определяются Решая фактически систему (9), получаем для

Значения для мы не выписали, ибо оно получается из предыдущего при замене к на —к и переходе к сопряженному значению. Предыдущая, формула дает все искомые коэффициенты (при

Наконец, коэффициенты вычисляются по одному из двух уравнений (6) и только вычисляется по одному из уравнений (5). Так как все коэффициенты за исключением уже вычислены, то мы получим определенные значения для всех за исключением Легко было бы выписать и явные выражения для них.

Введем теперь условие однозначности смещений, т. е. равенства (4). Тогда из выражения (7) для получится значение

Величины определятся из второго уравнения (4) и, например, из первого уравнения (6) при которое дает:

Решая совместно уравнения (4) и (15), получаем:

наконец, найдем из второго уравнения (12):

Формулы (16) можно было бы сразу написать на основании формул (9 § 35 (см. также примечание 3) на стр. 210). Таким образом, все коэффициенты разложений функций найдены; в частности, мы можем теперь вычислить и из уравнений (6), ибо вычислены.

Относительно сходимости полученных рядов заметим следующее: ряды для будут, очевидно, абсолютно и равномерно сходящимися в кольце (включая контуры), если сходятся ряды:

Сходимость же предыдущих рядов будет наверное обеспечена, если предположить, что заданные на и величины имеют вторые производные по удовлетворяющие условиям Дирихле. Действительно, в этом случае коэффициенты и рядов (1) будут удовлетворять неравенствам вида (§ 53):

Отсюда при помощи простых выкладок легко заключить на основании формул (10), (14) и (6), что имеют место неравенства (при

откуда непосредственно следует сходимость рядов (17).

Совершенно аналогично решается вторая основная задача. Если сравнить приведенное здесь решение задачи с решением, основанным на применении функций Эри, становятся ясными преимущества введения функций комплексного переменного.