§ 107. Задача сопряжения.

Пусть заданная гладкая линия, удовлетворяющая условиям предыдущего параграфа. Поставим себе такую задачу:

Найти кусочно-голоморфную функцию с линией скачков граничные значения слева и справа которой удовлетворяют условию

(кроме концов), где и заданные на функции, причем всюду на

Мы будем, кроме того, предполагать, что заданные на функции и удовлетворяют условию

Мы сделали оговорку, что условие (1) должно быть удовлетворено на кроме концов, так как понятие граничных значений слева и справа не определено для концов линии В дальнейшем обычно эту оговорку мы будем опускать, всегда ее подразумевая.

Поставленную задачу мы будем называть задачей линейного сопряжения граничных значений, или просто задачей сопряжения.

В случае, когда всюду на задача называется однородной. Однородная задача была впервые поставлена Гильбертом для случая, когда простой замкнутый контур; неоднородная задача (для того же случая) была поставлена И. И. Приваловым (при несколько более общих предположениях). Однако полное решение, притом весьма простое, было найдено лишь впоследствии. Это решение с соответствующими литературными указаниями изложено в книге автора [25].

Здесь же мы рассмотрим лишь тот частный и весьма простой случай, когда постоянная величина, ибо только этот случай и понадобится нам в дальнейшем. При этом для большей наглядности мы рассмотрим отдельно случаи, когда где произвольная постоянная величина, отличная от единицы.