§ 122. Решение первой и второй основных задач для области, ограниченной окружностью.

Эти задачи были нами решены в предыдущих главах разными способами. Здесь для иллюстрации нового способа мы укажем их решение при помощи формул предыдущего параграфа, ограничиваясь вследствие простоты краткими указаниями.

1. Первая основная задача для круга. В этом случае область, занятая телом, есть и граничное условие имеет вид:

где нормальное и касательное напряжения на которые мы считаем заданными и удовлетворяющими условию

На основании формулы (14) § 121 это граничное условие принимает

Мы пришли, таким образом, к задаче, решенной в § 108; в нашем случае требуется найти решение, ограниченное на бесконечности. Применяя формулу (2) § 108, получаем:

где не известная пока постоянная. Для определения этой постоянной, а также для выяснения условий разрешимости задачи обратимся к равенствам (12) § 121, которые должны быть удовлетворены по условию.

Вычислим для этого постоянные формул (11) § 121. Имеем:

Условия (12) § 121 дают соответственно:

Предпоследняя формула показывает, что должно быть

при соблюдении этого условия

Равенства (4) и (5) выражают соответственно условия обращения в нуль главного вектора и главного момента внешних усилий, которые необходимы для существования решения.

Формула же (6) определяет действительную часть постоянной мнимая ее часть остается неопределенной, как и следовало ожидать, ибо она влияет лишь на жесткое вращение тела как целого. Таким образом, задача решена.

2. Первая основная задача для плоскости с круговым отверстием решается совершенно аналогично предыдущей. В этом случае имеем:

где и заданные внешнее нормальное и касательное напряжения; как в § 87а и § 56, под подразумевается проекция на нормаль, направленную к центру, а под проекция на касательную, направленную влево, если смотреть вдоль положительной нормали. Мы будем считать, что и удовлетворяют условию

На основании формулы (14) § 121 это условие принимает вид:

вполне аналогичный виду условия (2).

Однако в нашем случае требуется найти решение, имеющее на бесконечности заданное значение а в точке полюс с главной частью

это следует из формул (5) и (13) § 121. Поэтому, применяя сказанное в § 108, получаем сразу:

Величины (компоненты главного вектора внешних напряжений) вычисляются непосредственно по граничным заданиям, а именно, как легко видеть

Величины же определяющие напряжения и вращение на бесконечности, следует считать заданными. Легко проверить, что условие однозначности смещений выполняется.

Таким образом, задача решена. Легко проверить, что при полученное для выражение совпадает в области с выражением, полученным в § 87а (где предполагалось, что напряжения и вращение исчезают на бесконечности).

3. Вторая основная задача для решается совершенно аналогично предыдущим, если исходить из формулы (15) § 121. Предоставляем читателю написать решение.