§ 41а. Дополнительные замечания.

1. Разница, о которой только что говорилось, между основной бигармонической задачей и первой основной задачей плоской теории упругости в случае многосвязной области, не очень существенна и заключается в следующем.

Будем пока иметь в виду конечную область. В основной бигармонической задаче выражение

задается на каждом из контуров вполне, в случае же первой основной задачи плоской теории упругости это выражение задается лишь с точностью до (не известных заранее) постоянных на контурах и только одна из этих постоянных может быть зафиксирована произвольно.

Кроме того, имеется разница в условиях, налагаемых на искомую функцию (х, у): в основной бигармонической задаче требуется обычно, чтобы частные производные

были однозначны в или даже чтобы сама функция была однозначна (например, когда речь идет о равновесии пластинки, заделанной по краям); в случае же первой основной задачи плоской теории упругости от функции требуется, чтобы были однозначны соответствующие ей

компоненты напряжения и смещения. В случае односвязной области и те и другие условия эквивалентны однозначности самой функции

В случае бесконечной области между двумя рассматриваемыми задачами имеется еще разница в условиях, обычно налагаемых на поведение решений в окрестности бесконечно удаленной точки.

2. Несмотря на то, что решение граничных задач представляет в общем случае большие практические трудности, в некоторых частных случаях очень легко угадать решение по самому виду граничного условия.

Например, предположим, что граница конечного (вообще многосвязного) тела подвержена равномерно распределенному нормальному растягивающему усилию (при будем иметь не растяжение, а давление).

Обозначая через внешнюю нормаль к границе, получаем:

откуда следует на основании формулы (19) § 41, что на каждом из контуров составляющих границу, Поэтому граничное условие (18) § 41 запишется так:

откуда сразу видно, что этому условию можно удовлетворить, полагая:

на основании теоремы единственности все другие решения могут отличаться от предыдущего лишь жестким перемещением.

Компоненты соответствующего напряжения определяются формулами (вытекающими из формул § 32):

Отметим еще любопытные случаи, когда граничные задачи решаются непосредственно, почти без всяких вычислений.

Рассмотрим сперва первую основную задачу для такого же тела, что и выше, и предположим, что функция точки границы получаемая переходом к сопряженным значениям в обеих частях формулы (19) § 41, совпадает с точностью до постоянных слагаемых на каждом из контуров с граничным значением некоторой функции голоморфной в Тогда граничное условие (18) § 41 запишется так (если перейти к сопряженным значениям):

и, очевидно, мы получим решение задачи, если положим:

Из теоремы единственности вытекает, что задача других решений иметь не может, кроме решений, отличающихся от предыдущего жестким перемещением.

Совершенно аналогичное замечание можно сделать относительно второй основной задачи.

Аналогичные замечания относятся и к случаю бесконечной области. Рассмотрим в качестве простейшего примера произвольное (односвязное или многосвязное) тело и предположим, что где действительная постоянная. Это соответствует случаю, когда

т. е.

Таким образом, к границе тела приложены равномерно распределенные внешние напряжения, равные по величине но направленные не по внешним нормалям, а по направлениям, представляющим собой отражения нормалей в оси Оу.

Решение задачи в этом случае имеет вид

Для компонент напряжения получим по формулам § 32:

Если, например, рассматриваемая область есть прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, то мы имеем решение задачи для случая, когда на стороны, параллельные оси действуют растягивающие, равномерно распределенные усилия, а на стороны, параллельные оси такие же сжимающие усилия.