III. МНОГОЗНАЧНЫЕ СМЕЩЕНИЯ. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

§ 45. Многозначные смещения. Дислокации.

Условие однозначности смещений, которое мы до сих пор считали всегда выполненным, кажется на первый взгляд совершенно неизбежным с физической точки зрения. Мы увидим, однако, что можно дать весьма простую физическую интерпретацию и многозначным смещениям.

Будем по-прежнему считать, что компоненты напряжения и, следовательно, компоненты деформации — однозначные функции в области, занятой телом; точнее, будем считать, что соблюдены все условия, перечисленные в п. 2 § 30, кроме условия однозначности смещений.

Напомним, что в случае односвязной области однозначность компонент смещения является необходимым следствием остальных принятых нами условий (см. § 30). Поэтому нам остается рассмотреть случай многосвязной области. Как и в § 35, мы будем предполагать, что область занятая телом, ограничена несколькими простыми замкнутыми контурами из которых последний охватывает остальные.

Рис. 19.

Напомним, что в § 35, при выводе формул мы не опирались на условие однозначности смещений; это условие было введено лишь начиная с формулы (7). Поэтому, в частности, формулы (3) и (4) § 35 сохраняют силу и при тех условиях, которые мы рассматриваем теперь.

Для того, чтобы изучить характер многозначности компонент смещения, превратим (мысленно) область в односвязную, проведя разрезов (купюр) соединяющих контуры с внешним контуром и не пересекающих друг друга (рис. 19) (эти купюры можно провести и иным образом, например, соединить какую-нибудь точку контура с какой-нибудь точкой контура затем какую-нибудь точку контура с какой-нибудь точкой контура дойдя таким образом до какой-нибудь точки контура но мы для простоты будем проводить купюры, как указано выше).

В разрезанной таким образом области функции а следовательно, и смещения, будут однозначны. На каждой купюре мы будем различать

два края, которые будем отмечать значками (+) и (-), причем эти обозначения будем выбирать так, чтобы, идя (оставаясь в разрезанной области) от какой-либо точки края (-) купюры к соответствующей точке края (+) той же купюры (т. е. к точке с теми же координатами х, у), приходилось огибать контур против часовой стрелки.

При таком обходе на основании формулы (6) § 35 будем иметь:

где действительная, комплексные постоянные, фигурирующие в формулах (3) и (4) § 35; обозначают значения компонент смещения соответственно в точке края (+) и точке края (-), которые совмещены в геометрической точке

Формулу (1) можно переписать так:

где

Физическая интерпретация полученных многозначных смещений не представляет никаких затруднений А именно, чтобы получить объяснение таких смещений, достаточно предположить, что вдоль каждой купюры спаяны два края тела, получившихся благодаря тому, что из тела до его деформации была удалена (весьма узкая) полоса, края которой и (рис. 19) были конгруэнтны и так расположены, что линия получается из путем жесткого перемещения, состоящего из поворота на угол вокруг начала координат и из поступательного перемещения с компонентами Подразумевается, что перед спайкой были совмещены те точки краев, которые соответствуют друг другу при только что указанном жестком перемещении. Обозначения выбраны нами так, что линия обращается после деформации в край (-) купюры а линия в край

Для простоты выше мы говорили об удалении полосы с краями и Но при некоторых значениях может случиться, что

(до деформации) край заходит за край так, что фактически приходится не удалять полосу, а прибавлять. Может также случиться, что край заходит за край лишь частично; тогда приходится удалять в одном месте и прибавлять в другом. Однако для краткости мы в дальнейшем будем говорить только об «удалении» полосы. Ясно также, что при наложении краев конечные точки этих линий могут не вполне совпасть друг с другом, так что после спайки на границах области могут образоваться (малые) зазубрины, на которые мы не будем обращать внимания.

Указанная интерпретация многозначных смещений в частном случае кругового кольца указана впервые Тимпе (Timpe [I]). Несколько позднее Вольтерра 2) получил более общие результаты, относящиеся к многосвязным телам произвольного вида. Этот автор называет описанный нами вид деформации тела «distorsion». Ляв (Love [1]) предложил вместо этого термин «дислокация» (dislocation), которым мы и будем пользоваться.

Отметим следующее важное свойство дислокаций, указанное Вольтерра. Если переместить купюры и изменить их форму, так, однако, чтобы точки оставались соответственно на контурах и чтобы купюры нигде друг с другом не пересекались, то величины аопределяемые формулами (3), останутся, очевидно, без изменения. Иными словами, величины эти не изменяются при замене одной системы купюр другой, топологически ей эквивалентной.

Мы видели, что при требовании однозначности смещений напряжения внутри тела вполне определяются внешней нагрузкой. Требование однозначности смещений равносильно требованию

Легко видеть, что напряжения будут также вполне определены заданием внешней нагрузки и произвольным заданием (малых) величин действительно, «разность» двух решений (если их существует два) даст, очевидно, решение, для которого внешняя нагрузка отсутствует и

т. е. смещения однозначны. При этих условиях, как мы знаем, напряжения всюду равны нулю.

Величины числом мы будем называть характеристиками дислокации (caracteristiques de la distorsion, по Вольтерра).

Замечание. Сам собой напрашивается вопрос: почему исключена возможность дислокаций в односвязном теле? Ведь можно, например, из круговой шайбы вырезать, скажем, радиальный клин, привести в соприкосновение свободные края и спаять; тогда, конечно, в шайбе возникнут напряжения, и мы будем, по-видимому, иметь дело с таким же случаем, как для многосвязного тела.

Но разница здесь та, что в этом случае напряжения не будут удовлетворять условиям непрерывности, поставленным выше (§ 30), ибо мы видели, что в случае односвязного тела смещения не могут быть многозначными при соблюдении этих условий непрерывности.

Совершенно аналогично следует ответить на вопрос, почему мы ограничились рассмотрением дислокаций, вызванных удалением (или прибавлением) полос с конгруэнтными краями, совмещая края определенным образом.