§ 56а. Примеры.

1. Одностороннее растяжение пластинки, ослабленной круговым отверстием. Пусть края кругового отверстия свободны от внешних напряжений и пусть на бесконечности действует растягивающее напряжение в направлении оси

Тогда, как показывают формулы (10) § 36 (вспомним, что, по условию,

Далее, так как на контуре то в формулах § 56 надо положить при всех k. При этих условиях из формул (12) и (16) § 56 находим:

Далее, из формул (4), (14), (13), (15), (16) § 56 (из последней при и 4) следует:

Следовательно, будем иметь окончательно:

и задача рещена

Найдем теперь компоненты соответствующих напряжений в полярных координатах.

Формулы (4) § 39 дают, если положить

откуда, отделяя действительные и мнимые части и комбинируя с (3), получим окончательно:

На контуре отверстия (т. е. при как и следовало ожидать,

Значения на контуре даны формулой

Максимальные значения получим при т. е. при

они равны

т. е. утроенному значению растягивающего напряжения. Для нахождения смещений вычислим функции

Получаем, отбрасывая несущественные постоянные:

Тогда на основании формулы (3) § 39 будем иметь:

откуда, отделяя действительные и мнимые части, получаем:

2. Всестороннее растяжение. Еще проще решается задача о всестороннем растяжении пластинки, ослабленной круговым отверстием, когда на бесконечности

Тогда на основании формул (10) § 36 будем иметь:

и совершенно так же, как в предыдущем примере, получим, что

и что все остальные коэффициенты разложений функций равны нулю. Значит,

и

Напряжения и смещения вычисляются, как в предыдущем примере, по формулам (4) и (3) § 39, из которых непосредственно имеем:

Это решение можно было бы получить непосредственно и из решения предыдущего примера, налагая два односторонних растяжения соответственно по осям

3. Равномерное нормальное давление, приложенное к обводу кругового отверстия. Рассмотрим теперь случай, когда обвод отверстия подвержен равномерному нормальному давлению а на бесконечности напряжения равны нулю. Тогда мы будем иметь:

В формуле (8) § 56 будем иметь:

в соответствии с этим на основании формул § 56 легко получаем, что

и что все остальные коэффициенты разложений равны нулю. Значит, мы будем иметь:

на основании чего легко получаем, как и выше, что

4. Сосредоточенная сила, приложенная в точке неограниченной плоскости. Пусть на бесконечности напряжения равны нулю а напряжения, приложенные

к контуру кругового отверстия, имеют постоянную величину и направление:

где постоянные. Очевидно, главный вектор внешних усилий.

При этих условиях нормальное и касательное напряжения определяются формулами:

откуда

Значит, в формуле (8) § 56 не равен нулю только один коэффициент:

и по формулам (14) и (16) (при того же параграфа будем иметь:

все остальные коэффициенты равны нулю Таким образом, нашу задачу решают функции

Предположим теперь, что радиус отверстия беспредельно уменьшается, а напряжение беспредельно возрастает так, что главный вектор остается неизменным. Тогда предыдущие формулы принимают вид:

При указанных условиях мы будем говорить, что в точке О приложена сосредоточенная сила Напряженное состояние, соответствующее действию сосредоточенной силы, определяется функциями которые даются формулами (9).

Вычисление компонент напряжения и смещения никаких затруднений не представляет. Например, компоненты напряжения в полярных координатах будут даны формулами (вычисления производятся, как в предыдущих примерах):

Замечание. Если мы рассматриваем тонкую пластинку («обобщенное плоское напряженное состояние»), то в предыдущих формулах, вместо х, надо взять

(см. § 32) и, кроме того, под следует подразумевать величины

где компоненты сосредоточенной силы, приложенной к пластинке, а толщина пластинки. Действительно, не надо забывать, что рассчитываются на единицу высоты пластинки.

5. Сосредоточенная пара. Рассмотрим теперь случай, когда к краю отверстия приложено постоянное касательное напряжение Напряжения же на бесконечности пусть будут равны нулю. В этом случае будет:

и в разложении (8) § 56 только один коэффициент будет отличен от нуля.

Формулы § 56 дают:

все остальные величины обращаются в нуль. Следовательно, вводя обозначение

будем иметь:

очевидно, обозначает главный момент (относительно центра) внешних усилий, приложенных к обводу отверстия. Эти формулы остаются справедливыми и в предельном случае, если уменьшать беспредельно и увеличивать так, однако, чтобы момент оставался постоянным. В этом предельном случае формулы (10) определяют то, что мы будем называть действием на бесконечную плоскость сосредоточенной пары с моментом приложенной в начале координат.

Простые вычисления дают для компонент напряжения:

Ср. еще замечание в конце предыдущего примера.