§ 102. Решение первой и второй основных задач по методу Д. И. Шермана.

Пусть область ограничена одним или несколькими простыми непересекающимися замкнутыми контурами из которых последний содержит внутри все остальные, и пусть обозначает полную границу области. Мы будем предполагать, кроме того, что каждый из контуров имеет кривизну, удовлетворяющую условию Конечные области, ограниченные контурами мы будем обозначать через а бесконечную область, ограниченную контуром через

Начнем с решения первой основной задачи. Не нарушая общности, мы можем считать, что главные векторы внешних усилий, приложенных к контурам равны нулю и что, следовательно, искомые функции однозначны, так как в противном случае мы можем выделить из них многозначные члены (известные заранее) и перенести их в правую часть равенства, выражающего граничное условие, что и приведет к предыдущему случаю. Кроме того, мы должны, очевидно, считать для разрешимости задачи, что и главный вектор усилий, приложенных к контуру равен нулю.

Граничное условие напишется так:

где заданная функция (однозначная и непрерывная на каждом из контуров не известные заранее постоянные, лишь одну из которых можно произвольно зафиксировать; мы будем считать:

Будем, следуя Д. И. Шерману, искать решение в следующем виде:

где функция точки контура, подлежащая определению, произвольно зафиксированные точки областей (так что они расположены вне действительные постоянные, связанные с следующим образом:

Мы будем разыскивать лишь регулярные (в смысле § 42) решения исходной задачи. Для этого достаточно считать, что искомая функция со имеет производную удовлетворяющую условию что мы и примем.

Подставляя граничные значения функций определяемых равенствами (2), (3), в (1), получаем совершенно так, как в предыдущем параграфе:

Представляется целесообразным еще видоизменить предыдущее уравнение, прибавив к левой его части выражение

где чисто мнимая постоянная, связанная с формулой

мы считаем, что начало координат находится в области

Таким образом, мы получаем уравнение

где надо считать

Свяжем, кроме того, неизвестные постоянные с искомой функцией соотношениями:

где дифференциал дуги контура

Если теперь в левой части уравнения (5) подразумевать под выражения (4), (6) и (7), то уравнение (5) обратится в интегральное уравнение, не содержащее никаких неизвестных, кроме функции Если разделим в уравнении (5) действительные и мнимые части, как это было сделано в предыдущем параграфе, то получим систему двух уравнений Фредгольма; выписывать эту систему бесполезно.

Интегральное уравнение (5) мы будем называть уравнением Шермана. В случае односвязной области оно отличается от уравнения (5) предыдущего параграфа лишь членом

Будем считать в дальнейшем, что заданная на функция имеет производную удовлетворяющую условию Не трудно показать, что при этом условии и при условиях, принятых нами относительно границы всякое (непрерывное) решение уравнения (5) имеет производную удовлетворяющую условию

Покажем теперь, что если уравнение (5) имеет решение, то необходимо если только соблюдено условие равенства нулю главного момента внешних усилий, которое, как легко видеть (ср. § 41), можно представить в виде:

В самом деле, уравнение (5) можно, очевидно, записать так:

если под подразумевать граничные значения выражений, даваемых формулами (2) и (3). Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя по получаем после простых преобразований интегрированием по частям:

Так как последнее слагаемое в левой части предыдущего равенства — действительная величина, а все остальные его члены — чисто мнимые величины, то а это и требовалось показать.

Таким образом, при соблюдении условия (8) всякое решение уравнения (5) есть в то же время решение исходного уравнения (5), а следовательно, оно дает решение граничной задачи (1), причем постоянные будут даны формулами (7).

Докажем теперь, что уравнение (5) всегда разрешимо. Рассмотрим для этого однородное уравнение, получаемое из уравнения (5) при и докажем, что оно не имеет отличных от нуля решений. Пусть, — какое-либо решение этого однородного уравнения, а соответствующие значения функций и постоянных С, определяемые формулами (2), (3), (4) и (7), если в них вместо со взять в частности, согласно формулам (2) и (3),

где обозначают постоянные, даваемые формулой (4) при мы несколько преобразовали выражение для интегрированием по частям. Функции удовлетворяют граничному условию

как это следует из равенства (1), если принять во внимание, что в нашем случае а также ибо, очевидно, условие (8) удовлетворено. Следовательно, решают первую основную задачу при нулевых внешних усилиях, и поэтому на основании теоремы единственности имеем:

где действительная, вообще комплексная постоянная; следовательно, на основании условия (11), если принять во внимание, что

причем, очевидно,

Из формул (9), (10), (12) и (13) следует:

Введем теперь обозначения:

Тогда, как легко видеть, равенства (9), (10) можно переписать так:

а это показывает (см. § 74), что представляют собой граничные значения функций голоморфных в областях причем

Вспомним теперь, что в нашем случае где дается формулой (6), если вместо подразумевать Подставляя в формулу (6), при на место значение получаемое из формулы (15), и учитывая только что указанное свойство функции легко заключаем, что

Далее, исключая из формул (15) и (16) функцию легко получаем:

Умножая обе части предыдущего равенства на и интегрируя по контуру получаем после простых преобразований равенство

из которого следует в силу того, что действительные величины:

Поэтому

Следовательно, функции решают первую основную задачу для областей при отсутствии внешних усилий. По теореме единственности для области и в силу условия получаем откуда следует с — 0. Далее, в силу теоремы единственности для областей получаем (помня, что

откуда на основании формул следует, что

кроме того, так как то

Наконец, используя последовательно равенства (4), (17), (7), (14), легко убеждаемся, что для всех к, и поэтому всюду на

Итак, однородное уравнение, соответствующее уравнению (5), не имеет решений, отличных от нулевого.

Следовательно, уравнение (5) всегда имеет одно и только одно решение

Подставив это значение в формулы (2), (3), мы получим регулярное решение поставленной задачи, если только соблюдено условие (8) равенства нулю главного момента внешних усилий [равенство нулю главного их вектора обеспечено непрерывностью функции на Таким образом, задача решена.

Перейдем теперь ко второй основной задаче. В этом случае граничное условие мы запишем так:

где при прежних обозначениях

Принимая во внимание формулы (3) и (4) § 101 (при ), а также вид функций определяемый формулами (10), (11) § 35, будем искать решение задачи в виде:

где постоянные. При этом мы свяжем эти постоянные с искомой функцией соотношениями

Смещения, соответствующие функциям будут, как легко видеть, однозначны в

Мы будем, как и в предыдущем случае, разыскивать регулярные решения задачи. Для этого, как выше, достаточно считать, что искомая функция имеет производную удовлетворяющую условию что мы и примем.

Так же, как в предыдущем случае, получим для определения интегральное уравнение

где под следует подразумевать однозначную функцию, равную

В дальнейшем мы будем считать, что заданная функция имеет производную удовлетворяющую условию Тогда аналогично тому, что имеет место для уравнения (5), всякое (непрерывное) решение со уравнения (23) будет иметь производную со удовлетворяющую условию

Интегральное уравнение (23) оказывается всегда разрешимым. Для того, чтобы это показать, рассмотрим однородное уравнение, получающееся из предыдущего при Пусть какое-либо решение этого однородного уравнения, а соответствующие значения функций Тогда

Следовательно, в силу теоремы единственности будем иметь:

где с — постоянная. Вследствие однозначности функций которые попросту являются постоянными, получим на основании формулы (20) или (21), что

где определяется формулой (22) при . Далее, из формул (20) и (21) следует:

откуда легко заключаем (ср. случай первой основной задачи), что функции определяемые формулами:

являются граничными значениями некоторых функций голоморфных в областях причем Исключая из формул (25), получаем:

Применяя теорему единственности для второй основной задачи к каждой из областей получаем:

так как в области имеем: то Следовательно,

Но тогда на основании формул (25) имеем:

Отсюда на основании равенства (24) следует, если принять во внимание формулу (22), что все и тогда

Следовательно, однородное уравнение, соответствующее уравнению (23), не имеет решений, отличных от нуля, и поэтому уравнение (23) всегда имеет одно и только одно решение. Таким образом, наша задача решена.

Все сказанное с очевидными незначительными изменениями применимо и к случаю, когда контур отсутствует и, следовательно, бесконечная плоскость с отверстиями.