§ 19. Простейшие случаи упругого равновесия. Основные упругие постоянные.

Прежде, чем идти дальше, остановимся на нескольких простейших случаях упругого равновесия, имея в виду определение физического смысла постоянных, характеризующих упругие свойства тела.

Заметим прежде всего, что при отсутствии объемных сил, т. е. при

уравнениям статики упругого тела можно, в частности, удовлетворить, считая компоненты деформации постоянными (произвольно заданными), т. е. считая деформацию однородной. Действительно, на основании соотношений (2) § 18 компоненты напряжения также будут постоянными, и, следовательно, уравнения (1) § 18 будут тождественно удовлетворены (так как, по условию, Далее, будут, очевидно, удовлетворены условия совместимости Сен-Венана (§ 15), так что всегда можно будет найти смещения соответствующие данным компонентам деформации. В нашем простом случае это можно показать непосредственно, найдя фактически выражения для смещений; именно, непосредственная подстановка показывает, что компоненты смещения, представляемые формулами

удовлетворяют при постоянных соотношениям (3) § 18. Здесь произвольные постоянные; члены, их содержащие, выражают поэтому жесткое перемещение тела как целого.

На основании сказанного в § 15 решение (2) — единственное возможное при данных

Точно так же, очевидно, уравнениям статики упругого тела можно удовлетворить, полагая компоненты напряжения равными произвольно заданным постоянным. Действительно, уравнения (2) § 18 дадут для компонент деформации определенные постоянные значения, и мы получим предыдущий случай.

Рассмотрим теперь некоторые простейшие частные случаи.

Положим сперва:

Тогда уравнения (2) § 18 или, что все равно, уравнения (4) § 17 дадут

Предположим, что рассматриваемое упругое тело есть призма или цилиндр с образующими, параллельными оси и основаниями, перпендикулярными к ней.

На основании формул (5) § 18 очевидно, что на боковой поверхности т. е. боковая поверхность свободна от внешних напряжений. На основании, обращенном в сторону положительной оси будем иметь: а на другом основании

Следовательно, внешние усилия, действующие на цилиндр, суть равномерно распределенные на основаниях растягивающие напряжения (если ) или сжимающие (если ) обозначает растягивающее или сжимающее усилие, приходящееся на единицу площади основания.

Мы будем считать очевидным (или, если угодно, доказанным экспериментально), что при этих условиях и при произойдет удлинение цилиндра в продольном направлении и сжатие в поперечном; это значит, что при должно быть: На основании формул (4) это дает:

Значит, в частности, ; кроме того, из этих неравенств следует (если разделить одну на другую левые части):

Введем обозначения:

Величины на основании только что сказанного положительны для всех материалов.

Величина называется модулем упругости или модулем Юнга (Th. Young, 1773-1829), а величина о — коэффициентом Пуассона. Физическое значение величины получаем из первой формулы (4):

Значит, есть отношение растягивающего напряжения к вызываемому им относительному продольному удлинению (или сжимающего напряжения к продольному относительному сжатию).

Физическое значение величины а также следует из формул (4), показывающих, что

Значит, отношение относительного поперечного сжатия к относительному продольному удлинению (или при отношение поперечного расширения к продольному сжатию) есть величина постоянная, не зависящая от формы сечения растягиваемого стержня и от величины растягивающего усилия. Это отношение а и называется коэффициентом Пуассона. Рассмотрим теперь другой частный случай. Пусть

Тогда формулы (2) § 18 дают, очевидно,

Значит, соответствующая деформация есть простой сдвиг.

Если рассматриваемое тело в недеформированном состоянии представляет собою прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными плоскостям координат, то, как легко видеть на основании формул (10), грани, перпендикулярные оси не подвержены внешним усилиям. Усилия же, приложенные к другим граням, сводятся к скалывающим усилиям, приложенным при как указано на рис. 10, где изображено только сечение тела плоскостью, параллельной

Рис. 10.

Угол, первоначально прямой, между гранями, первоначально параллельными плоскостям отмеченный на чертеже, уменьшается на величину равную (см. § 12). Следовательно, будем иметь на основании формул (И):

Значит, есть отношение величины скалывающего усилия к углу вызванного сдвига. Поэтому называется модулем сдвига. Рассмотрим, наконец, случай:

В этом случае формулы (5) § 18 показывают, что напряжение, действующее на любую площадку с нормалью дается формулами:

выражающими, что вектор напряжения параллелен нормали и имеет постоянную величину Следовательно, на каждую площадку действует только нормальное напряжение; если считать то напряжение будет сжимающим. Поверхность любой части рассматриваемого тела будет подвергнута только равномерному нормальному внешнему давлению («гидростатическое давление»).

Сложение трех первых формул (2) § 18 приводит к формуле:

Так как представляет относительное объемное расширение (а следовательно, — есть объемное сжатие), то величина

называется модулем всестороннего сжатия. Мы считаем очевидным (или доказанным экспериментально), что при происходит действительно уменьшение объема, а это значит, что для всех материалов.

Мы ввели в рассмотрение, кроме еще следующие постоянные: модуль упругости, — коэффициент Пуассона, к — модуль всестороннего сжатия. Величины можно выразить через любые две из них. Например, решив уравнения (7) относительно X и получим:

а подставив эти значения в выражение (14), будем иметь

Последняя формула показывает, что для всех материалов должно быть

Формулы же (15) показывают, что

Заметим, что по старой теории Коши и Пуассона для всех тел должно было бы быть: или, что все равно, Но это не подтвердилось на опыте. Все же для очень многих тел а имеет приблизительно одно и то же значение, близкое к (а не к ).

Если вместо внести в формулы (4) § 17 величины Ела, они примут более простой вид:

Замечание. В литературе часто под «пуассоновым числом» понимают величину обозначаемую часто через

Модуль сдвига часто обозначается через Новейшие численные данные относительно упругих постоянных для различных материалов можно найти, например, в книге Grammel [1].