будет удовлетворять на у следующему граничному условию [см. § 132, формула (4)]:
или, в силу соотношения (1), обозначая, как всегда, через
точки на
мы отбросили справа произвольную постоянную.
Но мы имеем уже готовую формулу, позволяющую найти голоморфную внутри у функцию по граничным значениям ее действительной части. Именно, по формуле (5) § 77 имеем:
откуда, наконец,
и задача решена.
Если
рациональная функция, то произведение
будет также рациональной функцией от
Интеграл в правой части (5) вычислится в этом случае без всякого труда при помощи теоремы о вычетах и даст, очевидно, рациональную функцию от
так что решение задачи выразится через элементарные функции.
Вообще, если выражение со
рассматриваемое как функция от
представляет собой однозначную аналитическую функцию внутри у (или вне
непрерывную вплоть до у и имеющую внутри (вне) у конечное число полюсов, то интеграл в правой части (5) сразу вычисляется на основании теоремы о вычетах.
Для вычисления жесткости при кручении
можно воспользоваться простой формулой, которую сейчас выведем. Имеем
где I есть полярный момент инерции площади
относительно О, а
Применяя формулу Остроградского — Грина, получаем:
где
контур области.
Замечая, что на контуре
и что
можем переписать последнюю формулу так:
Если
рациональная функция, то
будет также рациональной (см. выше), а значит, будут рациональными и функции
и предыдущий интеграл легко вычислится в конечном виде на основании теоремы о вычетах.
В этом случае иногда удобно также преобразовать выражение для
Замечая, что
легко выводим:
Но, очевидно,
(последнее равенство мы получаем, интегрируя по частям). Таким образом, получаем:
Эта формула в случае, когда функция со
рациональна, позволяет элементарно вычислить I в конечном виде.
Так же легко решить задачу кручения в случае двусвязной области, когда известна функция со
отображающая эту область на круговое кольцо. Действительно, в этом случае задача сводится к определению функции
голоморфной внутри кольца и удовлетворяющей следующим граничным условиям:
где
окружности, ограничивающие кольцо, а
две действительные постоянные, из которых одна может быть зафиксирована произвольно. Мы приходим таким образом к задаче, решенной в § 62 (замечание).
В нашем случае роль функции
играет функция
а в разложении (7) § 62 (где надо написать
вместо
следует положить
ибо иначе
была бы многозначной.
Роль функций
§ 62 играют соответственно функции:
здесь
обозначают то, что там было обозначено через
Если положить
то постоянная
определится при помощи уравнений (9) § 62.
Вычислив
мы можем для вычисления напряжений либо вернуться к старым переменным х, у, либо же выразить компоненты напряжения при помощи криволинейных координат, связанных с конформным отображением (см. § 49).
Обозначим через
вектор касательного напряжения, действующего в некоторой точке сечения
Его проекции на оси
суть
Проекции же
этого вектора на оси
криволинейных координат будут даны формулой (4) § 49, которую мы напишем так, перейдя к сопряженным значениям:
откуда, подставляя на место
значение (6) § 132 и замечая, что
получаем окончательно весьма простую и удобную формулу:
На границе области должно быть
поэтому предыдущая формула позволяет непосредственно определить контурное значение касательного напряжения
в частности, найти его максимум.