§ 134. Применение конформного отображения.

Задача кручения может считаться решенной, если мы сумеем отобразить область на круг (в этом случае, конечно, должна быть односвязной областью). Пусть, действительно,

есть соотношение, отображающее область на круг окружность которого, как раньше, обозначим через

Если мы выразим комплексную функцию кручения через и положим:

то будет функцией, голоморфной внутри Действительная часть функции

будет удовлетворять на у следующему граничному условию [см. § 132, формула (4)]:

или, в силу соотношения (1), обозначая, как всегда, через точки на

мы отбросили справа произвольную постоянную.

Но мы имеем уже готовую формулу, позволяющую найти голоморфную внутри у функцию по граничным значениям ее действительной части. Именно, по формуле (5) § 77 имеем:

откуда, наконец,

и задача решена.

Если рациональная функция, то произведение будет также рациональной функцией от Интеграл в правой части (5) вычислится в этом случае без всякого труда при помощи теоремы о вычетах и даст, очевидно, рациональную функцию от так что решение задачи выразится через элементарные функции.

Вообще, если выражение со рассматриваемое как функция от представляет собой однозначную аналитическую функцию внутри у (или вне непрерывную вплоть до у и имеющую внутри (вне) у конечное число полюсов, то интеграл в правой части (5) сразу вычисляется на основании теоремы о вычетах.

Для вычисления жесткости при кручении можно воспользоваться простой формулой, которую сейчас выведем. Имеем

где I есть полярный момент инерции площади относительно О, а

Применяя формулу Остроградского — Грина, получаем:

где контур области.

Замечая, что на контуре и что

можем переписать последнюю формулу так:

Если рациональная функция, то будет также рациональной (см. выше), а значит, будут рациональными и функции и предыдущий интеграл легко вычислится в конечном виде на основании теоремы о вычетах.

В этом случае иногда удобно также преобразовать выражение для

Замечая, что

легко выводим:

Но, очевидно,

(последнее равенство мы получаем, интегрируя по частям). Таким образом, получаем:

Эта формула в случае, когда функция со рациональна, позволяет элементарно вычислить I в конечном виде.

Так же легко решить задачу кручения в случае двусвязной области, когда известна функция со отображающая эту область на круговое кольцо. Действительно, в этом случае задача сводится к определению функции голоморфной внутри кольца и удовлетворяющей следующим граничным условиям:

где окружности, ограничивающие кольцо, а две действительные постоянные, из которых одна может быть зафиксирована произвольно. Мы приходим таким образом к задаче, решенной в § 62 (замечание).

В нашем случае роль функции играет функция а в разложении (7) § 62 (где надо написать вместо следует положить ибо иначе была бы многозначной.

Роль функций § 62 играют соответственно функции:

здесь обозначают то, что там было обозначено через

Если положить то постоянная определится при помощи уравнений (9) § 62.

Вычислив мы можем для вычисления напряжений либо вернуться к старым переменным х, у, либо же выразить компоненты напряжения при помощи криволинейных координат, связанных с конформным отображением (см. § 49).

Обозначим через вектор касательного напряжения, действующего в некоторой точке сечения Его проекции на оси суть

Проекции же этого вектора на оси криволинейных координат будут даны формулой (4) § 49, которую мы напишем так, перейдя к сопряженным значениям:

откуда, подставляя на место значение (6) § 132 и замечая, что

получаем окончательно весьма простую и удобную формулу:

На границе области должно быть поэтому предыдущая формула позволяет непосредственно определить контурное значение касательного напряжения в частности, найти его максимум.