§ 146. Задача растяжения и изгиба парами.

В случае составного бруса, но при условии одинаковости коэффициентов Пуассона, нам удалось весьма просто решить задачи о растяжении и об изгибе парами, причем оказалось возможным рассмотреть раздельно задачу о растяжении силой с линией действия по оси и изгиба парами, плоскости которых параллельны плоскостям Возможность такого раздельного рассмотрения была обусловлена специальным выбором системы осей Оху в плоскости «левого» («нижнего») основания (а именно, начало О было взято в приведенном центре тяжести, а оси были направлены по главным приведенным осям инерции этого основания).

Мы увидим ниже, что в случае различных коэффициентов Пуассона только что указанный выбор осей координат, вообще говоря, уже не дает возможности решить упомянутые задачи раздельно. Поэтому в этом параграфе мы под Оху будем подразумевать любую (прямоугольную) систему координат в плоскости левого основания и не будем считать, что плоскость изгибающей пары параллельна одной из плоскостей

1. Обозначим через проекции векторного момента изгибающей пары на оси а через величину растягивающей силы, с линией действия по оси Oz.

Начнем с того, что, руководствуясь видом решений для случая одинаковых коэффициентов Пуассона, постараемся удовлетворить условиям

задачи линейной комбинацией следующих трех решений:

в областях (остальные компоненты напряжения равны нулю).

Если бы все коэффициенты Пуассона были одинаковы и если бы оси координат были выбраны так, как было указано в начале параграфа, то эти решения, умноженные на подходящие постоянные, дали бы соответственно решения задач об изгибе парой в плоскости об изгибе парой в плоскости и о растяжении силой, направленной по Oz.

В действительности же, построенные таким образом решения не удовлетворяют условиям упомянутых задач уже потому, что соответствующие смещения имеют разрывы на линиях раздела участков

Для того, чтобы устранить эти разрывы, построим решения трех вспомогательных задач о плоской деформации, которые представляют собой частные случаи задачи, сформулированной в § 145, соответственно при следующих значениях функций фигурирующих в формуле (3) § 145:

на линиях раздела областей

Эти три задачи мы для краткости будем называть соответственно задачами (1а), (2а), (За) и будем считать их решенными.

Будем обозначать компоненты смещений и напряжений, соответствующих этим трем вспомогательным задачам, верхними значками В частности, будем иметь в областях

Наложение решений (1), (2), (3), умноженных соответственно на некоторые постоянные и решений умноженных соответственно на те же постоянные, даст, как легко видеть, решение задачи об изгибе и растяжении бруса при следующих значениях моментов

изгибающих пар и величины F растягивающей силы:

Здесь введены следующие обозначения:

где и где под следует подразумевать соответственно х, у, 1. Подробнее:

где обозначает то же, что раньше, а координаты приведенного центра тяжести основания и представляют собой приведенные моменты инерции основания относительно осей приведенный центробежный момент инерции относительно этих осей. Далее:

эти постоянные мы будем считать вычисленными.

Наша задача будет решена, если мы определим неизвестные постоянные из системы (4) при заданных Определитель этой системы

как будет показано ниже всегда отличен от нуля; точнее, Поэтому система (4) однозначно определяет постоянные и нашу задачу можно считать решенной.

2. Прежде, чем перейти к доказательству неравенства остановимся на некоторых формулах, связанных с выражением для потенциальной энергии деформации, на которые нам придется опираться. Вспомним, что в § 20 было введено в рассмотрение выражение

представляющее собой рассчитанную на единицу объема, удвоенную потенциальную энергию, соответствующую деформации с компонентами эту деформацию мы будем кратко обозначать через в соответствии с этим мы пишем теперь вместо того, чтобы, как в § 20, писать просто

Выражение представляет собой неособенную положительную квадратичную форму компонент деформации обращающуюся в нуль лишь при (то есть при

Вспомним теперь, что компоненты напряжения, соответствующего деформации выражаются формулами:

и что в соответствии с этим выражение (7) может быть переписано еще так:

Рассмотрим теперь две различные деформации и будем отмечать соответствующие компоненты деформаций и напряжений одним и двумя штрихами. Введем в рассмотрение выражение, аналогичное (9):

Если под компонентами напряжения подразумевать их выражения через компоненты деформации , то представляет собой билинейную форму этих последних компонент. Равенство между собой двух выражений в первой и второй строках формулы (10) доказывается непосредственной проверкой; оно

показывает, что

т. е. что билинейная форма симметрична.

Если деформации совпадают, т. е. то

где обозначает то же, что в формуле (7) или (9). В § 20 была доказана формула

где обозначает поверхность деформированного тела, внешнюю нормаль, область, им занятую; через обозначена потенциальная энергия деформации всего тела.

Совершенно аналогично доказываются формулы (мы предоставляем доказательство читателю):

обозначения введены для сокращения письма.

Из формулы (10) следует равенство или подробнее:

выражающее так называемую теорему Бетти (вернее, теоремой Бетти называется несколько более общее равенство для случая, когда имеются также объемные силы).

Нам придется применять предыдущие формулы лишь в случае плоской деформации бруса. В этом случае и все рассматриваемые функции не зависят от Поэтому

и

В случае плоской деформации удобнее применять формулы (12) — (14) не ко всему брусу, а к слою высотой 1, заключенному между двумя нормальными поперечными сечениями.

Тогда вместо формулы (12) будем, очевидно, иметь формулу

где теперь обозначает потенциальную энергию, рассчитанную на единицу длины (высоты) бруса, а вместо формул (13), (14) — формулу

В предыдущих формулах обозначает поперечное сечение бруса, его границу.

В случае, если, как во вспомогательной задаче о плоской деформации § 145, компоненты смещения претерпевают разрывы на линиях раздела участков под следует подразумевать совокупность границ этих областей. Поэтому, если граница участка интеграл берется по всем причем те части контуров которые принадлежат границам двух соседних участков проходятся по два раза: один раз в качестве границы участка другой раз в качестве границы участка [см. ниже формулы (21) и (22)].

3. Вернемся к интересующему нас вопросу. Будем обозначать через деформации, соответствующие вспомогательным задачам о плоской деформации (1а), (2а), (За), а через ) — выражения (18), вычисленные в предположении, что в качестве взяты соответственно и докажем, что

где постоянные, определяемые формулами (6); из этого, в частности, будет следовать, что

Для доказательства преобразуем формулу

следующим образом. Как было сказано, под следует подразумевать совокупность всех контуров, ограничивающих участки области Поэтому

где границы участков граничные значения компонент при приближении к границе из области обозначает нормаль к внешнюю по отношению к

Замечая теперь, что на границе области по условию, и что при интегрировании линии раздела двух участков пробегаются по два раза, легко заключаем, что формулу (21) можно написать еще так:

где на этот раз линии проходятся по одному разу и где обозначает нормаль, направленную от

Пользуясь этой формулой, легко доказать справедливость соотношений (19). Докажем, например, что Имеем согласно предыдущей формуле:

Замечая, что в силу формул (2а)

и внося эти выражения в предыдущую формулу, получаем:

Преобразуя теперь последнее выражение, подобно тому, как мы преобразовали формулу (21) в (22), только в обратном порядке, получаем:

где обозначают то же, что в формуле (21). Замечая, далее, что

и преобразуя интегралы по формуле Остроградского — Грина, получаем

или, наконец, принимая во внимание формулу

Точно так же, применяя для вычисления формулу

получаем: Таким образом, а это и требовалось показать.

Остальные равенства (19) доказываются совершенно аналогично; проведение доказательств мы предоставляем читателю.

На основании формул (19) мы можем рассматривать определитель А как дискриминант следующей квадратичной формы величин

где

Легко видеть, что квадратичная форма неособенная положительная, т. е. что если не все равны нулю. Действительно, из самого определения постоянных следует, что

откуда и следует наше утверждение.

Отметим, что как легко проверить при помощи формулы (12), представляет собой рассчитанную на единицу длины бруса потенциальную энергию деформации, полученной наложением деформаций, соответствующих решениям (1) — (3), умноженным соответственно на (при этом следует считать, что составные части бруса деформируются независимо друг от друга, т. е. не спаяны между собой).

Легко также доказать, что квадратичная форма неособенная положительная, если не все коэффициенты Пуассона равны между собой (если коэффициенты Пуассона одинаковы, то, очевидно, все равны нулю и форма равна нулю тождественно). Именно, не трудно показать, что представляет собой рассчитанную на единицу длины бруса потенциальную энергию деформации, соответствующей наложению решений вспомогательных задач (1а), (2а), (3а), умноженных соответственно на

В самом деле, пусть по-прежнему (плоские) деформации, соответствующие задачам (1а), (2а), (3а), и пусть обозначает деформацию:

т. е. деформацию, компоненты которой равны соответственно:

Для рассчитанной на единицу длины потенциальной энергии этой деформации имеем согласно формуле (17)

где определяется формулой (16). Но, как легко видеть,

и, следовательно, принимая во внимание определение величин а это мы и хотели показать.

Легко видеть, что если не все коэффициенты Пуассона одинаковы и если хоть одна из величин отлична от нуля, то деформация необходимо имеет место следовательно, Таким образом, наше утверждение доказано.

Форма будучи суммой двух положительных форм одна из которых, а именно наверное неособенная, является тем более неособенной положительной. Но, как известно, дискриминант А такой формы наверное положителен, и утверждение, высказанное относительно А в конце п. 1, доказано.

Замечание 1. То обстоятельство, что форма неособенная положительная, можно было бы доказать проще, не разбивая ее на сумму форм Такое доказательство можно провести, основываясь на том, что, как легко непосредственно показать, представляет собой потенциальную энергию деформации, соответствующей указанной выше комбинации решений (1) — (3) и (1а) — (3а).

Однако мы поступили иначе, желая явно выделить добавочные коэффициенты характеризующие влияние неодинаковости коэффициентов Пуассона различных материалов.

Замечание 2. Коэффициенты вообще говоря, весьма малы, если коэффициенты Пуассона различных материалов мало разнятся друг от друга; точнее, они имеют тот же порядок, что квадраты и произведения разностей . В самом деле, обозначая временно через разности фигурирующие в правых частях формул (1а) — (3а), и рассматривая как некоторые независимые величины, легко убеждаемся, что решения вспомогательных задач, соответствующих формулам (1а) — (3а), зависят от линейно. Далее, принимая во внимание

формулу (22) и то обстоятельство, что линейно зависят от убеждаемся, что линейно зависит от квадратов и произведений величин а это и доказывает наше утверждение.