ДОБАВЛЕНИЕ I. О ПОНЯТИИ ТЕНЗОРА

1. Тензорное исчисление быстро завоевывает себе место в современной математике, как чистой, так и прикладной, и начинает проникать в техническую литературу, в частности в литературу по теории упругости.

Поэтому мы считаем необходимым дать по крайней мере самые элементарные сведения о понятии тензора, ограничиваясь для простоты применением исключительно прямоугольных координат. Чтобы сделать более естественным приводимое ниже определение тензора, начнем с некоторых замечаний относительно понятия вектора (вектор есть частный вид тензора, а именно тензор первого ранга).

Будем считать известным обычное геометрическое определение вектора как отрезка, имеющего направление.

Будем, далее, обозначать оси координат не через как в элементарной аналитической геометрии, а через В соответствии с этим компоненты вектора будем обозначать не через как в тексте книги, а через

Мы будем обращать внимание только на Длину и направление вектора, а не на положение начала; таким образом, будем считать вектор вполне заданным, если даны его компоненты (проекции на оси координат). Вектор I с компонентами мы будем обозначать так: или, еще короче, так: индекс принимает значения 1, 2, 3.

Итак, вектор в пространстве характеризуется тремя скалярными величинами.

Существует много физических и геометрических величин, которые при данном выборе осей координат также характеризуются тремя скалярными величинами, например: скорость, сила (приложенная к данной точке) и пр. Но не всякую из них целесообразно представлять вектором, как это мы, например, делаем со скоростью или силой. Дело в следующем. Пусть числа, характеризующие данную физическую величину при данном выборе осей координат. Мы, конечно, всегда можем

построить вектор

с компонентами и сказать, что он изображает данную физическую величину при данном выборе осей координат. Но это соответствие между данной физической величиной и вектором может нарушиться при замене одной системы осей координат другими. А именно, может случиться, что числа характеризующие нашу физическую величину в новой системе координат, не совпадут с компонентами вектора в этой новой системе, и вектор имеющий (в новой системе) компоненты может быть отличным от Для того, чтобы представление нашей физической величины вектором не зависело от случайного выбора системы осей координат, очевидно надо, чтобы при переходе от одной системы осей к другой величины характеризующие физическую величину, изменялись по тому же закону, что и компоненты вектора. Только в этом случае мы будем говорить, что данная физическая величина представлена вектором или что она — векторная величина. Векторную величину мы будем часто называть просто вектором, отождествляя ее с вектором, который ее представляет.

Вспомним теперь закон изменения компонент вектора при переходе от одной системы к другой. Изменим несколько обозначения, принятые в книге. Именно, косинусы углов осей старой и новой систем будем теперь обозначать так:

Тогда соотношения, связывающие новые компоненты вектора со старыми напишутся так:

Между элементами таблицы существуют следующие известные соотношения:

где символ имеет следующее значение: если если

Рассмотрим теперь два вектора:

Скалярное произведение этих векторов определяется формулой

На основании известного определения скалярного произведения

видим, что оно не зависит от выбора осей координат, т. е. что

Читатель легко проверит это также непосредственно, применяя формулы (1) и (2).

Обратно, если суть три числа, связанные с осями координат так, что линейная форма

где компоненты произвольного вектора, инвариантна при переходе от одной системы осей к другой, то тройка чисел представляет собой векторную величину (т. е. вектор). Для того, чтобы это показать, достаточно проверить, что величины преобразуются при переходе от одной системы осей к другой по тому же закону (1), что и компоненты вектора. Сделаем эту проверку. Имеем по условию:

внося в правую часть вместо выражение (1), получаем:

Так как предыдущее равенство должно быть справедливым при всяких значениях то коэффициенты при должны быть равны:

что совпадает со второй из формул (1), если вместо а писать Таким образом, наше предложение доказано. Итак: если линейная форма

инвариантна при замене координат, причем суть компоненты некоторого произвольного вектора, то и суть компоненты некоторого вектора.

2. Положив в основу обобщения понятия вектора только что указанное его свойство, мы придем естественным путем к понятию тензора. А именно, вместо линейной формы (4) п. 1 рассмотрим билинейную форму

зависящую линейно от компонент каждого из двух векторов:

Потребуем от коэффициентов этой формы, чтобы при переходе от одной системы осей к другой они изменялись по закону, оставляющему форму F инвариантной. При этом условии мы будем говорить, что совокупность девяти величин зависящих от двух индексов представляет тензор второго (по числу индексов) ранга; называются компонентами этого тензора (относительно данной системы осей). Тензор этот будем обозначать символом (а

Легко на основании определения найти закон изменения компонент при замене системы координат. Пусть компоненты тензора и векторов в новой системе. По определению имеем:

Внося в правую часть выражения

получаем после перестановки знаков суммирования:

откуда, сравнивая коэффициенты при произведениях имеем:

Это и есть искомые формулы преобразования.

Тензор второго ранга называется симметричным, если Легко видеть на основании формулы (2), что это свойство симметричности сохраняется при переходе от одной системы координат к другой.

В случае симметричного тензора можно для его определения пользоваться, вместо билинейной формы (1), квадратичной формой которую получим из полагая Тогда мы получим определение, данное в § 5 настоящей книги (примечание на стр. 26). Формулы

преобразования для компонент тензора напряжения, данные в § 5, совпадают с формулами (2), если последние переписать в старых обозначениях.

Простейшим симметричным тензором является тензор определяемый формулой:

Что есть тензор, видно из того, что выражение

есть, очевидно, инвариант (скалярное произведение векторов Тензор называется единичным.

Тензор называется антисимметричным, если Так как в частности, по условию, должнобыть: то в антисимметричном тензоре Таким образом, антисимметричный тензор характеризуется всего тремя величинами: где для краткости положено:

Легко видеть на основании (2), что свойство антисимметричности сохраняется при замене одной системы осей другой.

3. Два тензора называются равными, если Суммой тензоров называется тензор компоненты которого равны суммам соответствующих компонент данных тензоров:

Что есть тензор, следует из того, что

Так как слагаемые правой части инвариантны, то и левая часть инвариантна, а это и доказывает тензорный характер совокупности величин Аналогично определяется разность.

Если есть тензор, то величины определяют некоторый тензор это также следует непосредственно из определения тензора.

Всякий тензор может быть (единственным образом) представлен как сумма симметричного тензора и антисимметричного Действительно, положим: Переставляя значки и замечая, что, по условию, получаем: В соединении с предыдущим равенством это дает:

Легко видеть, что тензоры удовлетворяют поставленным условиям.

Приведем несколько примеров тензоров.

Пусть два вектора. Положим: Совокупность величин есть тензор. Действительно, пусть два произвольных вектора. Имеем:

Правая часть есть инвариант (произведение двух инвариантов). Следовательно, и левая часть есть инвариант, а это и доказывает утверждение.

Мы знаем, что где есть также тензор. Следовательно, если положить

то есть также тензор, очевидно антисимметричный.

Этот тензор называется векторным произведением двух данных векторов. В векторном исчислении векторное произведение рассматривается не как тензор, а как вектор. Чтобы сделать это понятным, заметим следующее. Введем обозначения:

Посмотрим, будет ли совокупность величин вектором. Для этого применим критерий, указанный в конце п. 1 настоящего Добавления, т. е. рассмотрим произвольный вектор и проверим, будет ли выражение

инвариантом. Очевидно, имеем:

Но из аналитической геометрии известно, что предыдущий определитель представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах при этом объем этот снабжен знаком, который зависит от ориентации осей координат: объем меняет знак, когда мы переходим от левой системы осей к правой, или наоборот. Знак не будет меняться, если ограничиться только правыми или только левыми системами координат. Только при этом условии выражение (4) будет инвариантом и совокупность величин можно рассматривать как вектор, не зависящий от выбора осей координат.

Покажем, наконец, что при только что указанном ограничении относительно выбора осей координат всякий антисимметричный тензор второго ранга может быть представлен вектором. Действительно, пусть любой антисимметричный тензор второго ранга. Составим сумму

где два произвольных вектора и где положено:

Но на основании сказанного выше есть вектор. С другой стороны, левая часть формулы (а) есть инвариант. Следовательно, и правая часть есть инвариант, причем произвольный вектор. Значит, есть вектор, а это и требовалось доказать.

4. Аналогично тому, как мы ввели понятие тензора второго ранга, можно ввести понятие тензора любого ранга Для этого достаточно ввести в рассмотрение, вместо билинейной формы, -линейную форму, линейно зависящую от компонент каждого из произвольных векторов.

Например, совокупность коэффициентов трилинейной формы

где компоненты трех произвольных векторов, определяет тензор третьего ранга компонентами которого являются числа Так же определяется тензор любого ранга Вектор с этой точки зрения следует рассматривать как тензор первого ранга, который определяется при помощи линейной формы

5. Вернемся к тензору второго ранга Пусть некоторый вектор. Составим выражения:

Легко показать, что есть вектор. Действительно, пусть произвольный вектор. Тогда

есть инвариант, ибо правая часть есть инвариант на основании самого определения тензора.

Очевидно, что, обратно, если величины определяемые формулой (1), где представляют компоненты произвольного вектора, суть компоненты вектора, то суть компоненты тензора.

Итак, соотношение (1) приводит в соответствие каждому вектору вполне определенный вектор Поэтому вектор называется линейной векторной функцией вектора определяемой тензором

Пример такой векторной функции мы встречали в тексте книги. Именно: соотношения (2) § 3 показывают, что вектор напряжения действующего на площадку с нормалью есть линейная векторная функция вектора определяемая тензором напряжений. Здесь обозначает вектор длины 1, имеющий направление нормали

Особый интерес представляет случай, когда тензор симметричный, т. е. когда этом случае мы и остановимся. Введем в рассмотрение квадратичную форму

Тогда соотношения (1) можно записать так:

Мы докажем важное предложение: подходящим выбором новых осей координат всякая квадратичная форма может быть приведена к «каноническому виду»

где — действительные постоянные (мы предполагаем, что величины действительные). Это предложение равносильно следующему. При подходящем выборе новых осей координат можно добиться, чтобы новые компоненты данного симметричного тензора имеющие различные индексы, обратились в нуль, т. е. чтобы

(остальные же, т. е. «диагональные», компоненты:

будут при этом, вообще говоря, отличны от нуля).

Если форма имеет указанный канонический вид, то соотношения (3) в новой системе координат сведутся к следующим:

Эти соотношения показывают, что если вектор направлен по одной из новых осей координат, то соответствующий ему вектор будет ему параллелен. Например, вектор параллельный оси имеет

компоненты при Соответствующий ему вектор будет иметь компоненты будет ему параллелен.

Поэтому, чтобы привести форму к требуемому виду, надо прежде всего разыскать направления, обладающие указанным свойством.

Итак, поставим себе вопрос относительно соотношений (1): при каком направлении вектора не равного нулю, соответствующий вектор параллелен ему? Для того чтобы векторы были параллельны, как известно, необходимо и достаточно, чтобы

где некоторое число. Внося сюда значения (1) для получаем систему уравнений:

Для того чтобы предыдущая система линейных однородных уравнений относительно допускала решение, отличное от решения необходимо и достаточно, как известно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю, т. е. чтобы

Предыдущее уравнение есть уравнение третьей степени относительно Как будет показано ниже, все его корни действительны. Теперь же заметим только, что это уравнение, как уравнение нечетной степени, имеет по крайней мере один действительный корень. Обозначим его через

Если в системе (6) придать X значение К 3, то эта система будет допускать такие решения, что не все равны одновременно нулю. Пусть

II — одно из таких решений. Вектор определяет такое направление, что для любого вектора параллельного ему, соответствующий вектор будет также ему параллелен.

Всякое такое направление называется главным направлением, соответствующим тензору

Возьмем теперь новую систему осей направив ось по найденному главному направлению. Две другие оси (перпендикулярные к этому направлению и между собой) оставим пока произвольными.

Будем обозначать компоненты тензоров и векторов относительно новой системы теми же буквами, что и раньше, но снабженными двумя штрихами. Система уравнений (6), которая кратко может быть записана

так:

в новых координатах примет вид

где

Подробнее она перепишется так:

При эти уравнения должны иметь решение (0, 0, при II Отсюда следует:

Следовательно, в новой системе координат квадратичная форма примет следующий вид:

Если то цель достигнута. В противном случае достаточно, не изменяя оси повернуть оси в их плоскости так, чтобы в выражении исчез член с произведением

Это всегда можно сделать. Действительно, пусть новые оси суть и пусть ось составляет с осью угол а. Тогда мы будем иметь формулы перехода:

Подставляя эти выражения в формулу (8), после элементарных преобразований получаем:

где, в частности,

Очевидно, когда

Если есть какой-либо угол, удовлетворяющий этому условию, то

тоже удовлетворяет ему, а также все углы вида

где k — целое число.

Таким образом, мы найдем две взаимно перпендикулярные оси, удовлетворяющие поставленному условию (обе эти оси перпендикулярны к оси совпадающей с Взяв одну из них за ось перпендикулярную к ней ось за ось приведем форму к требуемому виду (4), где действительные числа. Таким образом, мы не только доказали возможность указанного приведения, но и получили способ фактически его произвести и найти направления соответствующих новых осей.

Мы знаем, что есть один из корней уравнения (7). Покажем, что суть два другие корня того же уравнения. Для этого заметим сперва, что определитель

есть инвариант, т. е. не изменяется при замене осей координат (этот определитель называется дискриминантом квадратичной формы Действительно, при переходе к новым осям этот определитель превратится в

где в силу формул (2) п. 2 настоящего Добавления (стр. 638)

где временно введено обозначение

На основании известной теоремы умножения определителей имеем:

На основании той же теоремы умножения:

Следовательно, Но на основании хорошо известного свойства косинусов откуда следует что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь тензор с компонентами где произвольное число, а единичный тензор (см. стр. 639). Определитель, составленный из компонент тензора

на основании сказанного не зависит от выбора координат, т. е. есть инвариант.

Пусть теперь новые оси выбраны так, что новые компоненты тензора имеющие различные индексы, равны нулю, а значит, квадратичная форма принимает вид:

Определитель составленный применительно к новым осям, будет равен

Следовательно, будем иметь тождество

откуда и видно, что действительные числа суть корни уравнения

Нами, таким образом, попутно доказана важная теорема алгебры, гласящая, что все корни уравнения (7), называемого вековым уравнением, действительны (при существенном предположении, что действительны и, кроме того,

Вернемся к рассмотрению линейной векторной функции, определяемой равенством (1), продолжая предполагать видим, что всегда можно найти по крайней мере одну тройку взаимно перпендикулярных главных направлений и что, если придать координатным осям эти направления, форма примет вид:

а соотношения (1) — вид:

(мы теперь отбрасываем штрихи в обозначении компонент вектора относительно новой системы).

Выясним теперь вопрос, существуют ли какие-либо главные направления, отличные от трех найденных. Если есть вектор,

параллельный какому-либо главному направлению, то на основании определения вектор должен быть параллелен вектору должно быть:

На основании соотношений (12) отсюда получаем:

откуда еще раз заключаем, что X может иметь только одно из трех значений (иначе должно было бы быть

Предположим сперва, что различны между собой. Полагая в формуле видим, что уравнениям (13) удовлетворяют только следующие значения: произвольная величина, Таким образом, вектор соответствующий параллелен оси это дает одно из возможных главных направлений (уже нам известных). Так же точно убедимся, что значениям соответствуют направления осей

Таким образом, если все три корня уравнения (7) различны, мы имеем только три главных направления; эти направления взаимно перпендикулярны.

Пусть теперь Тогда при получим опять только одно направление, а именно направление оси Но при увидим, что решение уравнений (13) будет: произвольная величина, произвольная величина, Значит, главными направлениями, соответствующими этому значению X, будут все направления, перпендикулярные к оси (и только эти направления). Из этих направлений всегда можно выбрать бесчисленное множество пар взаимно перпендикулярных направлений (которые будут также перпендикулярны к направлению

Наконец, очевидно, если то при уравнения (13) удовлетворяются при всяких значениях Иначе говоря, в этом случае всякое направление будет главным.