§ 37. Некоторые свойства, вытекающие из аналитического характера решения. Об аналитическом продолжении через данный контур.

Из аналитического характера общего решения уравнений плоской теории упругости вытекает ряд важных свойств, на которых мы остановимся в настоящем параграфе.

Функции через которые выражается это ее решение, являются аналитическими функциями z во всей области, занятой телом, и в том случае, когда эта область многосвязна. Это следует из выражений для названных функций, выведенных в предыдущих параграфах. Разница со случаем односвязной области только та, что функции могут оказаться неоднозначными вследствие присутствия логарифмических членов. Так как аналитическая функция комплексного переменного является в то же время аналитической функцией действительных переменных х, у (см. § 32, примечание), то, как и в случае односвязной области, компоненты напряжения и компоненты смещения суть аналитические функции переменных х, у во всей области, занятой телом.

Из этого свойства решений непосредственно вытекает предложение, которое с первого взгляда может показаться несколько неожиданным.

Если какая-либо часть тела (даже сколь угодно малая) находится в «естественном» состоянии, т. е. в ней отсутствуют напряжения, то и все тело находится в естественном состоянии, иначе говоря, напряжения отсутствуют всюду.

Действительно, если в какой-либо части области занятой телом, то это будет иметь место во всем теле, ибо аналитическая функция не может быть равна нулю в части области, не будучи равной нулю во всей области.

Перейдем теперь к доказательству одного простого и важного предложения, касающегося аналитического продолжения решения через данный контур.

Пусть имеются две области не перекрывающие друг друга, но границы которых имеют общую часть, представляющую собой некоторую (разомкнутую или замкнутую) гладкую линию . Предположим, что компоненты смещения и напряжения удовлетворяют в каждой из областей и принятым в § 27 условиям. Тогда, как было сказано выше, они будут аналитическими функциями в каждой из отдельных областей

Выясним теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы они были аналитическими в области получаемой соединением (включая

Если компоненты смещения и напряжения аналитические во всей области то, очевидно, они непрерывно продолжимы на как из так и из причем их граничные значения с той и другой стороны от равны между собой. Отмечая граничные значения, получаемые переходом к пределу из и из соответственно значками (+) и (-), будем иметь, в частности, необходимые условия

где и обозначают соответственно векторы напряжений, приложенных в данной точке на к элементу этой линии, вычисленные соответственно в предположении, что элемент принадлежит соответственно части и части т. е. точнее:

и аналогично для причем обозначает нормаль к в данной точке, направленную в определенную сторону (выбранную произвольно). Докажем теперь, что условия (1) достаточны (в предположении, что существуют граничные значения компонент смещения и напряжения с той и другой стороны). В самом деле, из первых двух равенств (1) следует, что выражение

непрерывно продолжимо на с той и другой стороны и что граничные значения с обеих сторон равны между собой. Далее, из двух последних равенств (1) следует, что тем же свойством обладает выражение

если только надлежащим образом выбрать произвольные постоянные, которые можно прибавить, не изменяя смещений, к функциям в областях Это станет очевидным, если принять во внимание формулу (3) § 33, которая показывает, что значения предыдущего выражения как в так и в можно при надлежащем выборе упомянутых постоянных представить в виде

где интеграл взят по произвольной линии I, остающейся целиком (кроме точки а) в или и соединяющей некоторую постоянную точку а линии с точкой или приближая из или из точку z к какой-либо точке линии мы можем выбрать линию I настолько

близкой к чтобы интеграл в правой части (5) был сколь угодно близок к интегралу (при надлежащем выборе направления нормали

взятому по дуге линии соединяющей

Путем сложения выражений (3) и (4) непосредственно убеждаемся, что и функция непрерывно продолжима на из и из и что ее граничные значения с той и другой стороны равны. Следовательно, на основании сказанного в § функция будет аналитической в 5; значит, и будет аналитической. После этого становится очевидным, что и функция непрерывно продолжима на I с обеих сторон и что граничные ее значения равны между собой. Значит, так же, как и будет аналитической во всей области Это доказывает наше утверждение.

Из сказанного выше легко вывести еще следующее предложение: Если на какой-либо части (сколь угодно малой) границы тела

то напряжения отсутствуют, во всем теле.

Действительно, пусть область, занятая телом, та часть границы, на которой соблюдено условие (6). Возьмем какую-либо область примыкающую к и расположенную вне На основании сказанного выше и на основании условия (6) мы можем аналитически продолжить функции из области в область положив попросту, что равны нулю в Но тогда на основании сказанного в начале этого параграфа мы получим, что ибо эти функции, аналитические в области, полученной соединением равны нулю в части

Замечание. Доказанное выше предложение об аналитическом продолжении через данный контур можно несколько обобщить. А именно, оставляя в силе требование, чтобы компоненты смещения были непрерывно продолжимы на как из так и из мы можем заменить аналогичное требование относительно компонент напряжения менее сильным и более естественным с физической точки зрения требованием, чтобы было непрерывно продолжимо на линию выражение (4). Это требование, как легко видеть, сводится к следующему. Возьмем какую-нибудь (гладкую) дугу целиком расположенную в близкую к и предположим, что эта дуга стремится к некоторой дуге линии; пусть, далее, главный вектор усилий, приложенных к дуге

со стороны, обращенной к Тогда при приближении к I этот главный вектор стремится к определенному вектору который представляет собой по определению главный вектор усилий, приложенных со стороны тела к дуге I границы этого тела.

При соблюдении указанных требований условия (1) можно, как легко видеть, заменить следующими:

где обозначают соответственно главные векторы усилий, приложенных со стороны тел к произвольной дуге I линии раздела

Точно так же условия (6) можно заменить следующими:

где главный вектор усилий, приложенных к произвольной дуге рассматриваемой части границы.