§ 6. Поверхность напряжений. Главные напряжения.

Рассмотрение квадратичной формы введенной в § 5, позволяет дать очень простое и наглядное геометрическое представление зависимости вектора напряжения от ориентировки площадки, к которой он относится; речь здесь идет о площадках, проходящих через какую-либо определенную точку тела.

Возьмем для сокращения письма начало координат в рассматриваемой точке. Формула (4) § 5

дозволяет вычислить нормальную компоненту напряжения, действующего на площадку, нормаль к которой имеет направление вектора ; длина этого вектора может быть взята совершенно произвольно.

В дальнейшем мы будем считать, что форма не равна тождественно нулю, ибо очевидно, что если эта форма равна тождественно нулю, то напряжения вообще отсутствуют (в данной точке).

Пользуясь произвольностью длины будем подбирать ее так, чтобы где с — произвольная, но раз навсегда выбранная постоянная, отличная от нуля мы не исключаем случая, когда при некоторых ориентациях площадки при мы будем считать

Таким образом,

причем знак перед будем подбирать так, чтобы имели одинаковый знак (иными словами, будем брать если имеем дело с растягивающим нормальным напряжением, и если напряжение сжимающее).

Будем откладывать вектор от начала координат О. Тогда конец вектора будет находиться на поверхности

или, подробнее,

При этом знак в правой части должен быть выбран вполне определенным образом, в зависимости от знака в соответствии со сказанным выше.

Поверхность (2) или (3) при определенном знаке в правой части есть, очевидно, центральная поверхность второго порядка (с центром в начале координат). Она называется поверхностью напряжений, относящейся к данной точке тела («квадрика напряжений Коши»). Мы увидим ниже, что возможны два случая: в одном — знак в правой части уравнения (2)

или (3) должен оставаться неизменным для всех возможных ориентаций площадки; в другом — приходится брать то один, то другой знак в зависимости от ориентации площадки. В последнем случае мы будем, таким образом, иметь в сущности дело не с одной, а с двумя поверхностями второго порядка

эти две поверхности имеют, очевидно, общие оси (см. ниже).

Если поверхность напряжений построена, то нахождение нормального напряжения, действующего на данную площадку (проходящую через начало координат), никакого затруднения не представляет: достаточно найти пересечение II нормали к площадке с поверхностью (3) [мы увидим ниже, что это пересечение всегда существует, но при вполне определенном выборе знака в правой части]. Тогда нормальное напряжение определится по формуле (1), где

Далее, легко также построить направление вектора напряжения, действующего на площадку. Действительно, формулы (2) § 3 могут быть переписаны так, если вспомнить, что

Эти формулы показывают, что вектор параллелен нормали к поверхности (2), проведенной в точке Значит, чтобы найти направление достаточно провести в точке касательную плоскость к поверхности напряжений и опустить на нее перпендикуляр из начала координат. Вектор расположен на этом перпендикуляре (рис. 4).

Рис. 4.

Так как, далее, проекция вектора на нормаль к рассматриваемой площадке уже известна, то построение самого вектора никакого труда не представляет.

Вектор будет направлен по нормали к площадке только в том случае, если радиус-вектор перпендикулярен к касательной плоскости в точке Тогда на рассматриваемую площадку будет действовать только нормальное напряжение, скалывающего же (касательного) не будет.

Как известно, радиус-вектор может быть перпендикулярен к касательной плоскости в точке только тогда, когда а следовательно,

и нормаль к площадке имеет направление одного из главных диаметров (осей) поверхности (3); тогда сама площадка совпадает с главной диаметральной плоскостью, нормальной к этой оси.

Таких главных диаметров (осей), как известно, имеется в общем случае три, и они взаимно перпендикулярны. Только в частном случае, когда поверхность напряжений есть поверхность вращения, таких диаметров будет бесчисленное множество: один из них совпадает с осью вращения, а все остальные перпендикулярны к ней. Наконец, если поверхность напряжений есть сфера, то каждый диаметр будет главным.

Направление, обладающее тем свойством, что на перпендикулярную к нему площадку действует только нормальное напряжение, называется главным направлением напряжений или главной осью напряжений, а соответствующее нормальное напряжение — главным напряжением.

Как мы сейчас видели, таких направлений всегда существует три (и в общем случае — только три), и они взаимно перпендикулярны; в частных случаях их может быть бесчисленное множество; из них, однако, всегда можно выбрать три взаимно перпендикулярных.

Если направить оси координат по трем главным осям напряжений, т. е. по осям поверхности (3), то в ее уравнении, как известно, исчезнут члены, содержащие произведения координат, и оно примет вид:

Здесь через обозначены значения величин для новых осей координат. Из этого уравнения (а также и на основании самого определения главных осей напряжений) видно, что относительно новых осей координат компоненты обращаются в нуль, т. е. на площадки, расположенные в плоскостях координат, скалывающие напряжения не действуют

Величины суть по определению главные напряжения (в данной точке). Характер распределения напряжений вокруг точки О зависит от знаков этих величин; мы предполагаем пока, что все они отличны от нуля.

Рассмотрим сперва случай, когда все главные напряжения положительны:

Тогда, очевидно, в правой части уравнения (5) необходимо взять знак +, и оно примет вид:

Поверхность, выражаемая этим уравнением, есть, следовательно, эллипсоид. Из формулы (1) следует:

откуда видно, что нормальная компонента напряжения, действующего на любую площадку (проходящую через О), будет растягивающей.

Рассмотрим теперь случай, когда все главные напряжения отрицательны Тогда в уравнении (5) необходимо взять знак минус, и оно примет вид:

Поверхность напряжений есть опять эллипсоид, но нормальное напряжение вычисляется уже по формуле показывающей, что, в отличие от предыдущего случая, оно будет для всех площадок сжимающим.

Рис. 5.

Наконец, рассмотрим случай, когда главные напряжения имеют различные знаки, например:

Тогда уравнение (5) примет вид:

или

Поверхность (5в) есть однополостный гиперболоид, поверхность ( двуполостный. Обе поверхности разделены общим асимптотическим конусом

[см. рис. 5, на котором поверхность (5в) помечена поверхность ]. Если нормаль к площадке проходит вне асимптотического конуса, то она пересекает поверхность (5в); следовательно, для нормального напряжения получаем формулу

и оно будет растягивающим.

Если же эта нормаль проходит внутри асимптотического конуса, то она пересекает поверхность (; тогда для нормального напряжения находим

и оно будет сжимающим.

Наконец, если нормаль к площадке направлена по одной из образующих асимптотического конуса, то Следовательно, на соответствующих площадках действуют только скалывающие напряжения.

Случай отличается от предыдущего лишь тем, что меняются ролями зона, где имеется растяжение, и зона сжатия.

Остальные случаи распределения знаков отличаются от двух предыдущих только тем, что меняются ролями оси координат.

Выше мы исключили случаи, когда одна или две из величин равны нулю. В случае, когда равна нулю одна из величин поверхность напряжений вырождается в цилиндрическую, и мы имеем так называемое плоское напряженное состояние в данной точке, которое будет подробно рассмотрено в § 8. Случай же, когда две из этих величин обращаются в нуль, настолько прост, что читатель легко его разберет сам; в этом случае поверхность напряжений вырождается в совокупность двух параллельных плоскостей.