§ 4. Уравнения, связывающие компоненты напряжения.

Из элементов теоретической механики известно, что главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих на любое материальное тело, находящееся в равновесии, равны нулю. В случае абсолютно твердого (или, как мы кратко будем говорить, жесткого) тела это условие дает систему шести конечных уравнений, вполне характеризующих состояние равновесия. В случае же деформируемого тела упомянутое условие, если его применять ко всему телу как целому, далеко не дает всех элементов, характеризующих равновесие. Однако из этого условия можно и в нашем случае извлечь уравнения, дающие (в совокупности с законом, выражающим зависимость между напряжениями и деформацией, о чем будет речь впереди) все необходимые соотношения. Но для этого упомянутое условие следует применить не только ко всему телу, как целому, а к каждой части, которую можно мысленно из него выделить.

Во всем дальнейшем будем считать, если противное не оговорено особо, что компоненты напряжения не только непрерывны, но и имеют непрерывные частные производные первого порядка во всей области, занятой телом.

Пусть V — произвольная часть рассматриваемого тела (находящегося, по предположению, в равновесии), ограниченная замкнутой поверхностью Выразим сперва условие, что главный вектор всех внешних сил, действующих на часть V, равен нулю.

Проекция главного вектора объемных сил на ось Ох равна

а проекция главного вектора усилий, действующих на поверхность равна

Вводя в последнюю формулу, вместо выражение из (2) § 3 и приравнивая нулю сумму проекций на ось Ох объемных и поверхностных сил, получаем:

где обозначает внешнюю нормаль.

Но на основании известной формулы Остроградского — Грина

Внося это выражение в предыдущую формулу, получаем, наконец:

Вспомним теперь, что предыдущее равенство должно иметь место для любой области V, выделенной в теле, а это возможно только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю в каждой точке тела. Итак, мы получаем уравнения (два последних написаны по аналогии с первым):

Эти уравнения, на которые нам часто придется ссылаться, мы будем называть для краткости уравнениями равновесия.

Применим теперь условие равенства нулю главного момента внешних сил относительно начала координат или, что сводится к тому же, условие равенства нулю главных моментов относительно осей координат.

Написав, что главный момент относительно оси Ох объемных сил и напряжений, действующих на поверхность выделенного объема V, равен нулю, получим:

Но в силу формул (2) § 3

или, преобразуя последний интеграл по формуле Остроградского — Грина,

Внося это значение в соотношение (а) и принимая во внимание уравнения (1), получаем

Так как область V произвольна, то отсюда следует (см. примечание на предыдущей странице):

Две последние формулы получены из первой путем круговой перестановки букв (мы бы их получили непосредственно, применяя предыдущие выкладки к осям

Таким образом, мы видим, что в таблице компонент напряжения

члены, симметричные относительно главной диагонали (идущей от верхнего левого угла к нижнему правому), попарно равны; иными словами, таблица (А) симметрична.

Среди девяти членов таблицы оказывается только шесть различных:

Следовательно, можно сказать, что напряженное состояние в данной точке характеризуется шестью величинами

Формулы (2) можно словесно высказать в виде следующего предложения. Пусть имеются две площадки, проходящие через одну и ту же точку; тогда проекция напряжения, действующего на первую

площадку, на нормаль ко второй равна проекции напряжения, действующего на вторую площадку, на нормаль к первой. Собственно говоря, формулы (2) доказывают непосредственно это предложение только в случае, когда площадки взаимно перпендикулярны (параллельны двум из плоскостей координат). Но легко обобщить этот результат на случай двух любых площадок и получить таким образом только что формулированное предложение.

Действительно, пусть — косинусы направления нормали к первой площадке, а косинусы направления нормали ко второй. Тогда компоненты вектора напряжения действующего на первую площадку, будут на основании формул (2) § 3 равны:

Если принять во внимание соотношения (2), то проекция этого напряжения на нормаль ко второй площадке будет дана формулой:

Полученное выражение, как мы видим, содержит совершенно симметрично величины и и поэтому не изменится, если поменять ролями наши две площадки, а это и доказывает высказанное предложение.

Замечание относительно обозначений. Обозначения для компонент напряжения, принятые нами, были впервые введены Ф. Нейманом (1841 г.) и получили большое распространение. Они приняты, например, в курсах Кирхгоффа (Kirchhoff [1]), Лява (Love [1]) и др. Кроме этих обозначений, применяются и некоторые другие. Мы упомянем только следующие:

которые, как и предыдущие, очень распространены (с теми или иными несущественными видоизменениями) в литературе, особенно современной. Они весьма удобны со многих точек зрения, главным образом потому, что согласуются с современными тензорными обозначениями. Часто вместо пишут