§ 18. Основные уравнения статики упругого изотропного тела.

Теперь мы имеем возможность выписать полную систему уравнений статики упругого тела. Эта система состоит из «уравнений равновесия»,

связывающих компоненты напряжения (§ 4), и из уравнений (1) § 17, связывающих напряжения с деформацией. Вот эта полная система:

причем

где обозначают компоненты смещения и для краткости введено обозначение

К этим уравнениям следует присоединить еще формулы, дающие компоненты вектора напряжения, действующего на площадку с нормалью (§ 3):

Сделаем теперь одно общее замечание относительно уравнений (1) и (2) статики упругого тела. Эти уравнения линейны и однородны относительно компонент смещения компонент напряжения и компонент объемных сил Отсюда следует, что если

суть два решения уравнений (1) и (2) при объемных силах для первого решения и для второго, то выражения

дадут решение той же системы при объемных силах с компонентами

Мы будем говорить, что решение (6) получается наложением двух данных. Формулы (5) показывают, что внешние напряжения, приложенные к поверхности тела (при этом под в упомянутых формулах надо

понимать внешнюю нормаль), соответствующие последнему решению, суть суммы внешних напряжений, соответствующих данным решениям.

В частности, если есть какое-либо решение, соответствующее отсутствию объемных сил то решение (6) будет удовлетворять тем же уравнениям с теми же объемными силами, что и решение