§ 20. Основные граничные задачи статики упругого тела. Единственность решения.

Вернемся к основным уравнениям статики упругого тела (§ 18), которые мы теперь перепишем так:

где

Уравнения (1), (2), числом девять, содержат столько же неизвестных функций Выше мы назвали систему (1), (2) полной системой уравнений статики упругого тела. Для того, чтобы убедиться, что это действительно так и есть, следует доказать, что система (1), (2) вполне определяет упругое равновесие тела, если известны те внешние воздействия, которым оно подвергнуто, а кроме того, внутренние объемные силы.

Внешние воздействия состоят, во-первых, из внешних объемных сил и, во-вторых, из внешних усилий, приложенных к поверхности тела.

В связи с этим возникает следующая первая основная граничная задача:

I. Найти упругое равновесие тела, если заданы внешние напряжения, действующие на поверхность тела. Здесь, как и во всем последующем, мы считаем, что объемные силы заданы раз навсегда.

По отношению к уравнениям (1), (2) наша задача сводится к следующей: найти функции удовлетворяющие уравнениям (1), (2) в области V, занятой телом, и, кроме того, на поверхности (границе) S тела следующим граничным условиям [см. формулы (5) § 18]:

где обозначает внешнюю нормаль к поверхности тела, а заданные на поверхности функции (представляющие собой компоненты заданного вектора напряжения, действующего на поверхность тела).

Кроме указанной выше первой основной задачи, представляет значительный интерес вторая основная граничная задача:

II. Найти упругое равновесие тела, если заданы смещения точек его поверхности. Физически это соответствует случаю, когда подходящими усилиями, приложенными к точкам поверхности, этим точкам сообщают заданные смещения и закрепляют поверхность в этом виде. В отношении же уравнений (1), (2) это сводится к нахождению такого их решения, которое удовлетворяет на поверхности тела следующим граничным условиям:

где заданные на поверхности функции.

Наконец, во многих вопросах играет большую роль основная смешанная граничная задача, когда заданы смещения на одной части поверхности, на остальной же — внешние напряжения.

Кроме указанных задач, можно поставить ряд других, имеющих не меньшее значение для приложений; некоторые из этих задач будут рассмотрены ниже, в применении к плоскому случаю.

Во всем дальнейшем, если противное не оговорено особо, мы будем считать, что однозначные функции, имеющие внутри области, занятой телом, непрерывные производные до третьего порядка включительно. При этих условиях компоненты деформации и напряжения будут однозначными и непрерывными функциями, имеющими непрерывные производные до второго порядка внутри той же области.

Мы будем предполагать, кроме того, что компоненты смещения и компоненты напряжения непрерывны вплоть до границы области V, занятой телом. Это предположение, не будучи высказано явно, имелось в виду и выше, например, когда мы писали формулы (3) и (4).

Относительно поверхности тела, представляющей его границу, мы будем предполагать, что она удовлетворяет условиям, которые обычно принимаются для того, чтобы обеспечить справедливость известных формул интегрального исчисления, которыми мы будем пользоваться ниже.

Имея в виду доказать «теоремы единственности», т. е. что система уравнений (1), (2) может иметь только одно определенное решение для каждой из названных основных задач, выведем сперва одну важную формулу.

Рассмотрим двойной интеграл, распространенный на поверхность тела:

где определяются формулами (5) § 18, в которых под надо понимать внешнюю нормаль к поверхности.

Внося в интеграл (5) упомянутые выражения, получаем:

где для краткости введены обозначения:

На основании формулы Остроградского — Грина имеем:

Но в нашем случае

или на основании формул (1)

где

Таким образом, получаем окончательно:

Выражение вошедшее в эту формулу, представляет собой, как будет показано в § 24, потенциальную энергию деформации тела, заключенную в единице объема; но это в данный момент не имеет значения.

Внося в правую часть формулы (6), вместо компонент напряжения, их выражения (2) § 18 через компоненты деформации, получаем после очевидных упрощений формулу

показывающую, что есть положительная квадратичная форма компонент деформации, притом неособенная, т. е. обращающаяся в нуль только тогда, когда все компоненты деформации равны нулю; это следует из того, что положительные величины, как было показано выше.

Можно также просто выразить через компоненты напряжения; будет, очевидно, также положительной квадратичной формой этих компонент.

Предположим теперь, что одна из поставленных выше задач допускает два решения. Пусть компоненты смещений и напряжений, соответствующих первому решению, а аналогичные величины, соответствующиевторому. Составим «разность» этих двух решений, т. е. положим:

Очевидно, что (см. конец § 18) функции удовлетворяют тем же уравнениям (1), (2), в которых надо только положить:

иными словами, наша «разность» решений удовлетворяет основным уравнениям статики упругого тела при отсутствии объемных сил.

Значит, для величин будем иметь формулу, получаемую из (7) при

Заметим теперь следующее: в случае задачи I величины составленные для «разности» двух решений, равны нулю на так как и то и другое решение по предположению удовлетворяет условиям (3) при одних и тех же значениях для обоих решений. Следовательно, для разности этих двух решений получим:

Далее, в случае задачи II будем подобным же образом иметь на Наконец, в случае смешанной задачи на одной части поверхности равны нулю а на другой Во всех трех случаях выражение равно на Значит, формула даст

Но ведь всюду Следовательно, предыдущее равенство возможно только в случае, если во всех точках области

На основании сказанного выше это в свою очередь возможно только при соблюдении условия во всем

теле. Но ведь где компоненты деформаций, соответствующих двум рассматриваемым решениям. Значит, оба решения дают одинаковые компоненты деформации следовательно, одинаковые компоненты напряжения. Следовательно, оба решения тождественны в том смысле, что они дают одинаковые напряженные состояния (и деформации). Теорема единственности, таким образом, доказана.

Заметим, однако, что смещения могут оказаться не вполне тождественными. Действительно, из равенства нулю не следуют равенства а только равенства

постоянные), выражающие жесткое перемещение тела как целого. Значит, при решении первой основной задачи мы хотя и получим всегда одни и те же напряжения (и деформации), но можем получить для смещений различные значения, разнящиеся друг от друга только жестким перемещением тела как целого. Это, конечно, следовало предвидеть заранее, ибо такое перемещение никакого влияния на напряжения и деформацию не имеет. Такое различие решений мы будем считать несущественным.

В случаях же второй и смешанной задач и этого различия быть не может, так как смещения заранее заданы на всей или на части поверхности.

Заметим, наконец, что из доказанной теоремы единственности следует как частный случай предложение: Если объемные силы равны нулю и, кроме того, равны нулю: а) либо внешние напряжения, б) либо смещения точек поверхности, в) либо внешние напряжения на одной части поверхности и смещения на другой, то во всем теле напряжения равны нулю (следовательно, отсутствует и деформация).

Приведенное доказательство единственности справедливо как для односвязных, так и для многосвязных тел, ибо мы нигде не вводили предположения об односвязности. При доказательстве весьма существенным является предположение, что компоненты смещения суть однозначные функции координат. Как мы уже сказали, в случае многосвязного тела можно допустить существование смещений и неоднозначных. При этом обобщенном рассмотрении вопроса приведенное выше доказательство единственности теряет силу и сама теорема несправедлива. О физической интерпретации указанного случая см. ниже (глава II).

Мы доказали только следующее: если названные выше основные задачи теории упругости допускают решение, то оно единственно. Но этим, конечно, далеко не доказано, что решение существует. Доказательство

ство существования решения представляет гораздо больше трудностей, чем доказательство теоремы единственности, и требует применения самых могущественных средств современного анализа. Этим и объясняется факт, что доказательства существования решений основных задач найдены сравнительно недавно.

Рамки и характер настоящей книги не позволяют нам остановиться на этих вопросах. Поэтому мы ограничимся указанием, что существование решения первой и второй основных задач доказано в настоящее время с полной математической строгостью при достаточно общих условиях. При этом для существования решения первой основной задачи должно быть соблюдено, очевидно, следующее условие: главный вектор и главный момент совокупности объемных сил и (заданных) внешних напряжений, приложенных к поверхности, должны равняться нулю. Это условие вытекает из основного принципа статики, а также может быть выведено из самих уравнений (1).

Действительно, проекция главного вектора упомянутых сил, например на ось равна

Но, как было показано в § 4, предыдущее выражение равно

этот тройной интеграл равен нулю в силу уравнений (1).

Далее, главный момент упомянутых сил, например относительно оси равен

Предыдущее же выражение, как было показано в § 4, равно в силу уравнений (1)

т. е. равно нулю, так как