§ 134а. Примеры.

Применим изложенный в предыдущем параграфе метод к некоторым частным примерам.

1. Эпитрохоидальное сечение. Пусть сечение ограничено эпитрохоидой, рассмотренной в § 48, п. 3 (рис. 23 на стр. 174).

В этом случае

По формуле (5) § 134 имеем если заменить на

откуда на основании формула (3) § 70 сразу получаем:

(мы отбросили здесь произвольное постоянное слагаемое), и задача решена.

Для компонент напряжения получим по формуле (13) § 134:

или, полагая отделяя действительные части от мнимых,

где

контуре (т. е. при будем иметь: и

Если т. е. если контур не имеет точек возврата, то максимальное значение для соответствует точкам контура, определяемым уравнением это — точки, ближайшие к центру. Максимальное значение равно:

Если а приближается к то возрастает беспредельно. В случае контура с точками возврата, как на рис. обращается в в этих точках.

Для жесткости при кручении легко получим при помощи формул (9) и (10) § 134:

2. Лемниската Бута. Об отображении области, ограниченной этой кривой, было сказано в § 48, п. 6 (рис. 27). Изменяя несколько

обозначения, положим:

тогда для функции получим формулу:

Подынтегральное выражение, рассмотренное как функция от , имеет вне Два простых полюса: больших она порядка

Поэтому на основании теоремы о вычетах

где вычеты, соответствующие точкам и Имеем

таким же образом получаем:

откуда, наконец,

Компоненты напряжения вычисляются, как в предыдущем примере. Мы ограничиваемся вычислением значения контуре. После простых вычислений имеем:

Максимальное значение получается при т. е. на концах малой оси:

Для жесткости при кручении легко получим:

3. Петля лемнискаты Бернулли. Приведем еще пример односвязной области, когда со не есть рациональная функция. Положим, считая

причем выбирается та ветвь многозначной функции которая равна 1 при Иначе говоря (рис. 57а),

Когда описывает окружность у радиуса 1, то

и

Следовательно,

Если обозначают модуль и аргумент то на основании предыдущей формулы

откуда

Значит, описывает одну петлю лемнискаты Бернулли (рис. 576) и соотношение (5) отображает область, заключенную внутри этой петли, на круг

Рис. 57а.

Рис. 576.

Рис. 58.

Для функции имеем формулу

где следует взять ту ветвь функции которая положительна на у. Для этого надо взять

Подынтегральная функция будет однозначна в области, ограниченной у и разрезанной, как указано на рис. 58.

Поэтому (обозначения указаны на чертеже; в частности, обозначает бесконечно малую окружность)

где А — вычет, соответствующий точке равный, очевидно,

Путем простого преобразования интегралов, взятых по (интеграл по очевидно, бесконечно мал), получаем:

откуда после элементарных выкладок получим, отбросив аддитивную постоянную:

где

следует понимать ветвь, определяемую рядом

Таким образом, задача решена.

4. Конфокальные эллипсы. Неконцентрические окружности. Легко также получается решение при помощи отображения на круговое кольцо для случая, когда сечение (полого) цилиндра ограничено двумя конфокальными эллипсами или двумя (неконцентрическими) окружностями.

Решение для этого последнего случая можно непосредственно получить из приводимого ниже решения примера 1 § 140а.