§ 13. Инвариантная квадратичная форма, связанная с деформацией. Поверхность деформаций, главные оси. Замена координат.

Формула (4) § 12 может быть записана так:

где введено обозначение

F есть квадратичная форма переменных Так как левая часть формулы (1), т. е. величина имеет смысл, совершенно не зависящий от выбора осей координат, то, следовательно, квадратичная форма инвариантна по отношению к замене одной системы осей другой. Иными словами, если суть компоненты деформации в новой системе координат, а компоненты вектора в той же новой системе, то будем иметь равенство

которое обратится в тождество относительно если в правой части заменить величины их выражениями через ,

Это показывает, что совокупность величин

представляет собой симметричный тензор второго ранга (см. конец § 5. примечание). Отсюда следует (см. конец § 5), в частности, что компоненты деформации в новой системе координат связаны со старыми теми же формулами (1) § 5, что и новые компоненты напряжения со старыми (в упомянутых формулах надо теперь вместо взять вместо взять ).

Подобно тому, как в § 6 при изучении напряжений мы ввели в рассмотрение поверхность напряжений

можно и здесь ввести аналогичную поверхность.

Именно, формулу (1) мы можем переписать так:

или

где обозначает относительное удлинение вектора Эта величина, как мы знаем, не зависит от длины вектора а только от его направления. Поэтому для каждого направления мы можем так выбирать длину чтобы где с — произвольная, но раз навсегда выбранная постоянная, отличная от нуля; с имеет размерность длины.

Если взять начало вектора в начале координат, то конец этого вектора будет находиться на поверхности

называемой поверхностью деформаций (квадрика деформаций Коши).

Если эта поверхность построена, то можно сразу найти относительное удлинение любого вектора. Для этого достаточно провести параллельную ему полупрямую из начала координат до пересечения с нашей поверхностью; при этом для того, чтобы точка пересечения существовала (т. е. была действительной), необходимо определенным образом выбрать знак перед в правой части. Относительное удлинение рассматриваемого вектора будет равно

Все это совершенно аналогично тому, что было сказано в § 6 относительно вычисления нормальной компоненты напряжения, и поэтому мы здесь не повторяем сказанного.

Если за оси координат выбрать главные оси поверхности (4), то уравнение ее примет вид

где через обозначены значения для новой системы; компоненты в новой системе равны нулю.

Следовательно, новая система осей обладает тем свойством, что углы между осями и после деформации остаются прямыми. Значит, всегда существует такая тройка взаимно перпендикулярных прямых, что углы между ними остаются прямыми и после деформации. Такие три прямые называются главными осями деформации. Величины называются главными удлинениями.

В общем случае существует только одна такая тройка прямых. На если поверхность (4) есть поверхность вращения (это имеет место тогда, когда две из величин равны между собой), таких троек будет бесчисленное множество.

Если за оси координат взять главные оси деформации, то формулы (13) § 12, выражающие чистую деформацию, примут вид:

Следовательно, всякую чистую деформацию можно представить себе как результат трех простых растяжений по трем взаимно перпендикулярным направлениям, которые и суть направления главных осей деформации.

Заметим, наконец, что главные удлинения суть корни уравнения третьей степени относительно (ср. § 7):

где, в частности, коэффициент 6 определяется формулой:

Так как коэффициенты уравнения (6) должны быть инвариантны (ср. § 7), то, в частности, 6 есть инвариант. Очевидно, что 6 представляет сумму корней уравнения (6), т. е.

Величина 6 имеет очень простое геометрическое значение. В самом деле, рассмотрим прямоугольный параллелепипед, построенный на отрезках главных осей, имеющий объем

где

После деформации рассматриваемый параллелепипед обращается опять в прямоугольный параллелепипед со сторонами

объем которого равен

Здесь мы отбросили бесконечно малые высших порядков. Следовательно,

Эта формула показывает, что величина есть относительное объемное расширение.