§ 10. Аффинное преобразование.

Преобразование вида (1) § 9 называется аффинным, если координаты х, у, z нового положения точки являются линейными функциями координат х, у, z старого положения, иными словами, если соотношения (1) § 9 принимают вид:

где — постоянные (по соображениям, которые станут ясными в дальнейшем, мы обозначили коэффициенты при диагональных членах через а не просто через ). На основании принятого в § 9 мы должны предположить, что эти уравнения однозначно разрешимы относительно х, у, z, т. е. что определитель

отличен от нуля.

Аффинное преобразование обладает многими простыми важными свойствами, из которых отметим только некоторые.

Прежде всего очевидно, что и обратное преобразование будет аффинным, так как, разрешив уравнения (1) относительно х, у, z, получим, очевидно, для х, у, z также линейные выражения относительно

где с — постоянные.

Далее, легко показать, что точки, находившиеся до преобразования на некоторой плоскости будут находиться и после преобразования на некоторой плоскости Действительно, пусть есть уравнение плоскости Подставив вместо х, у, z их выражения (3), увидим, что это уравнение преобразуется в уравнение, линейное относительно х, у, z, т. е. в уравнение вида Значит, мы опять получаем уравнение некоторой плоскости В этой плоскости будут лежать точки, находившиеся до преобразования в плоскости

Из указанного свойства следует, что точки, находившиеся до преобразования на некоторой прямой А, перейдут в точки, находящиеся также на некоторой прямой А. Действительно, прямую А можно рассматривать как пересечение двух каких-то плоскостей После преобразования точки прямой А, т. е. точки, принадлежавшие одновременно плоскостям и обратятся в точки, принадлежащие одновременно плоскостям преобразованным из плоскостей а это и доказывает наше утверждение.

Отсюда легко заключить также, что любой прямолинейный отрезок преобразуется в прямолинейный отрезок и любой вектор — в вектор.

Пусть вектор после преобразования обратился в вектор

Пусть, далее, начало и конец вектора суть соответственно точки так что

Вектор будет иметь компоненты:

где в силу формул (1), например,

Вычитая эти два равенства, получаем первую из нижеследующих формул (две другие написаны по аналогии):

Из этих формул непосредственно следует, что два равных вектора (т. е. имеющих одинаковые компоненты переходят после преобразования в два равных вектора и что два параллельных вектора переходят в два параллельных, причем отношение их длин остается неизменным. Из первого свойства следует еще, что две одинаковые и одинаково ориентированные фигуры (расположенные в разных частях пространства), составленные из прямолинейных отрезков, преобразуются также в две одинаковые и одинаково ориентированные фигуры. Но так как всякая геометрическая фигура может быть рассматриваема как предел фигуры, составленной из прямолинейных отрезков, то указанное свойство имеет место для всяких фигур. Это значит, что все части тела, независимо от их положения, деформируются одинаковым образом. Поэтому деформация, производимая аффинным преобразованием, часто называется однородной.

Замечание 1. Легко видеть, что из формул преобразования вида (4) для компонент вектора вытекают формулы вида (1) для координат точки, т. е. что формулы (4) характеризуют аффинное преобразование в смысле первоначально данного нами определения.

Замечание 2. Мы условились всегда считать координаты не только прямолинейными, но и прямоугольными; однако очевидно, что все сказанное в настоящем параграфе остается в силе и в случае, когда рассматриваются прямолинейные косоугольные координаты.

Почти само собой очевидно, что характер соотношений (1) или (4) не изменится, т. е. эти соотношения останутся линейными, если вместо одной прямолинейной системы координат взять другую (также прямолинейную). Это непосредственно следует из линейности формул преобразования координат.