Главная > Некоторые основные задачи математической теории упругости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

IV. ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Мы видели в предыдущих отделах этой главы, что в случае областей, ограниченных одной окружностью или двумя концентрическими окружностями, решение граничных задач путем разложения неизвестных функций в степенные ряды дает эффективные результаты. Во многих случаях путем

конформного отображения данной односвязной или двусвязной области на круг или на круговое кольцо и последующего разложения неизвестных функций в степенные ряды можно также добиться эффективных результатов.

В настоящем отделе мы вкратце коснемся этого вопроса

§ 63. Случай односвязной области.

1. Рассмотрим сперва случай конечной односвязной области ограниченной простым замкнутым контуром которую мы представим себе отображенной соотношением на круг окружность этого круга мы обозначим через у.

Так как при обозначениях § 50 функции голоморфны в то функции голоморфны внутри у. Поэтому внутри у должны иметь место разложения

Мы можем попытаться решить основные граничные задачи, подставляя предыдущие ряды (предполагая их сходящимися также на у, т. е. при в равенство (1) или (4) § 51, что даст некоторую систему уравнений для определения коэффициентов

Поясним это, например, в случае первой основной задачи. Граничное условие (1) § 51 перепишем теперь так:

отбросив произвольную постоянную в правой части. Мы можем всегда считать, что точке соответствует точка т. е. что Как мы знаем, мы можем произвольно фиксировать величины и мнимую часть или, переходя к функции , величины и мнимую часть т. е. мнимую часть Поэтому в дальнейшем мы будем полагать оставив пока неопределенной мнимую часть величины (0).

Предположим далее, что выражение может быть (при представлено в виде ряда

т. е. в виде комплексного ряда Фурье; будем, далее, считать, что этот ряд абсолютно сходящийся. Легко показать, что это условие будет

нено наверное, если контур удовлетворяет условиям, указанным в § 47

Разлагая выражение в комплексный ряд Фурье (предполагая, что такое разложение возможно):

и подставляя выражения (1), (3), (4) в равенство (2), получаем:

Перемножая ряды в среднем члене левой части, а эта операция будет, как известно, законна, если, например, предположить, что ряд для сходится абсолютно, так же как и ряд (3), и сравнивая коэффициенты при от получаем:

сравнивая же коэффициенты при находим:

Уравнения (6) представляют собой систему бесконечного множества уравнений с бесконечным множеством неизвестных коэффициентов Каждое из отдельных уравнений (6) следует рассматривать как систему двух действительных уравнений относительно величин где

Если удастся тем или иным путем решить эту систему, то этим определится функция Коэффициенты же разложения От функции определятся последовательно по формулам (7).

Таким образом, основную задачу составляет решение системы (6), т. е. нахождение функции

Если, далее, полученные таким образом ряды для окажутся при равномерно сходящимися, а ряд для кроме

того, абсолютно сходящимся, то мы можем быть уверены, что условия задачи будут удовлетворены.

Практическое решение полученной системы уравнений во многих случаях не представляет затруднений 2). Мы ограничимся только следующими замечаниями общего характера относительно системы (6), начав с рассмотрения того простого случая, когда есть полином:

Будем в дальнейшем пользоваться следующим способом обозначений 8). Если

— некоторый полином, то под где черта ставится только над мы будем подразумевать полином, получающийся из путем замены коэффициентов на сопряженные, так что по определению

При таких обозначениях будем иметь (вспомним, что

Применяя указанные обозначения к выражению со фигурирующему в условии (2), получаем:

Правая часть, рассматриваемая как функция комплексной переменной на всей плоскости (это — рациональная функция), не имеет вне окружности у, включая саму окружность, никаких полюсов, кроме полюса в точке ибо со внутри и на у в нуль не обращается (§ 47), и,

следовательно, со не обращается в нуль ни вне, ни на у Значит, мы будем иметь разложение вида

пригодное для в частности, при Таким образом, в нашем случае ряд (3) будет содержать только конечное число членов с положительными степенями а именно будем иметь:

Уравнения (6) сведутся к следующим:

и

формула же (7) приводится к виду:

Таким образом, для определения величин имеем уравнений которые представляют собой действительных уравнений для определения действительных величин где Если уравнения имеют решение, то остальные коэффициенты определятся по формулам (6) и (7), и легко непосредственно показать, что полученные таким образом ряды для будут удовлетворять условиям задачи, если только заданные функции достаточно регулярны, например: имеют вторые производные по удовлетворяющие условиям Дирихле.

Итак, мы получим решение задачи, если система допускает решение.

Однако ясно, что система не может дать определенных значений для всех величин действительно, мы знаем заранее, что мнимая часть величины остается всегда совершенно произвольной. Значит, определитель системы должен быть равен нулю, а из этого, как известно, следует, что для существования решения величины должны удовлетворять некоторому добавочному условию, которое получим, исключив неизвестные из уравнений Оно будет, очевидно, выражать условие равенства нулю главного момента внешних усилий, ибо при этом (и только при этом) добавочном условии наша задача имеет решение. Из теоремы единственности решения следует, что все коэффициенты определятся полностью, если (произвольно) зафиксировать мнимую часть выражения системе будет несколько более подробно сказано в § 84 (замечание 2).

2. Рассмотрим, например, случай, когда контур есть улитка Паскаля. В этом случае можно взять согласно § 48, п. 2 (мы пишем теперь а вместо

Имеем:

Значит, в нашем случае

Система сводится к следующей:

Внося значение взятое из второго уравнения, в первое, получаем соотношение

определяющее действительную часть Для возможности решения задачи надо, чтобы мнимая часть равнялась нулю. Легко непосредственно проверить, что это есть условие равенства нулю главного момента внешних усилий.

Полагая для определенности мнимую часть равной нулю, найдем:

и затем все остальные коэффициенты по формулам

и задача решена. Получаемые для ряды легко суммируются и выражаются через интегралы типа Коши, но на этом мы не останавливаемся, так как соответствующие формулы легко получить иным путем (см. § 84).

3. Вернемся к общему случаю, когда не есть полином. Отбросив в разложении

все члены, начиная с получим вместо полином который отображает на круг не заданную область а близкую к ней область которая тем ближе к чем больше Решение задачи для области не представляет, как мы видели, принципиальных затруднений. Упрощение, вносимое заменой полиномом сводится в конечном счете к отбрасыванию в системе (6), (7) всех членов, содержащих при

Мы видели, что в этом случае дело сводится к решению конечного числа линейных уравнений с конечным числом неизвестных коэффициентов, а именно: к решению системы и к вычислению остальных коэффициентов при помощи соотношений (6) и (7). Это есть один из способов приближенного решения бесконечной системы (6), (7), т. е. приближенного решения первоначальной задачи. Если теперь увеличивать беспредельно то область будет стремиться к и найденное приближенное решение будет стремиться к точному, т. е. функции найденные для области будут стремиться к определенным функциям, дающим точное решение для области Это можно строго доказать при известных общих предположениях относительно контура области и относительно функций заданных на контуре

4. Совершенно аналогичные замечания можно сделать по поводу решения второй основной задачи. Эта задача даже проще, так как в случае заданных контурных смещений коэффициент должен определиться вполне и граничные задания не должны подчиняться никаким

добавочным условиям. Значит, система, аналогичная системе будет всегда иметь одно вполне определенное решение.

5. В случае бесконечной области, отображаемой на круг функцией вида

получаются результаты столь же простые, что и для конечной области в рассмотренном выше случае, когда полином. Мы не останавливаемся подробнее на этом, так как в упомянутых случаях (а также в более общих) можно получить эффективные решения иным путем (см. следующие главы).

Способ решения основных задач, изложенный в настоящем параграфе (это изложение воспроизведено без существенных изменений из предыдущих изданий книги), несколько более подробно и с некоторыми интересными добавлениями приведен в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [1], глава VI,

1
Оглавление
email@scask.ru