IV. ПРИМЕНЕНИЕ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

Мы видели в предыдущих отделах этой главы, что в случае областей, ограниченных одной окружностью или двумя концентрическими окружностями, решение граничных задач путем разложения неизвестных функций в степенные ряды дает эффективные результаты. Во многих случаях путем

конформного отображения данной односвязной или двусвязной области на круг или на круговое кольцо и последующего разложения неизвестных функций в степенные ряды можно также добиться эффективных результатов.

В настоящем отделе мы вкратце коснемся этого вопроса

§ 63. Случай односвязной области.

1. Рассмотрим сперва случай конечной односвязной области ограниченной простым замкнутым контуром которую мы представим себе отображенной соотношением на круг окружность этого круга мы обозначим через у.

Так как при обозначениях § 50 функции голоморфны в то функции голоморфны внутри у. Поэтому внутри у должны иметь место разложения

Мы можем попытаться решить основные граничные задачи, подставляя предыдущие ряды (предполагая их сходящимися также на у, т. е. при в равенство (1) или (4) § 51, что даст некоторую систему уравнений для определения коэффициентов

Поясним это, например, в случае первой основной задачи. Граничное условие (1) § 51 перепишем теперь так:

отбросив произвольную постоянную в правой части. Мы можем всегда считать, что точке соответствует точка т. е. что Как мы знаем, мы можем произвольно фиксировать величины и мнимую часть или, переходя к функции , величины и мнимую часть т. е. мнимую часть Поэтому в дальнейшем мы будем полагать оставив пока неопределенной мнимую часть величины (0).

Предположим далее, что выражение может быть (при представлено в виде ряда

т. е. в виде комплексного ряда Фурье; будем, далее, считать, что этот ряд абсолютно сходящийся. Легко показать, что это условие будет

нено наверное, если контур удовлетворяет условиям, указанным в § 47

Разлагая выражение в комплексный ряд Фурье (предполагая, что такое разложение возможно):

и подставляя выражения (1), (3), (4) в равенство (2), получаем:

Перемножая ряды в среднем члене левой части, а эта операция будет, как известно, законна, если, например, предположить, что ряд для сходится абсолютно, так же как и ряд (3), и сравнивая коэффициенты при от получаем:

сравнивая же коэффициенты при находим:

Уравнения (6) представляют собой систему бесконечного множества уравнений с бесконечным множеством неизвестных коэффициентов Каждое из отдельных уравнений (6) следует рассматривать как систему двух действительных уравнений относительно величин где

Если удастся тем или иным путем решить эту систему, то этим определится функция Коэффициенты же разложения От функции определятся последовательно по формулам (7).

Таким образом, основную задачу составляет решение системы (6), т. е. нахождение функции

Если, далее, полученные таким образом ряды для окажутся при равномерно сходящимися, а ряд для кроме

того, абсолютно сходящимся, то мы можем быть уверены, что условия задачи будут удовлетворены.

Практическое решение полученной системы уравнений во многих случаях не представляет затруднений 2). Мы ограничимся только следующими замечаниями общего характера относительно системы (6), начав с рассмотрения того простого случая, когда есть полином:

Будем в дальнейшем пользоваться следующим способом обозначений 8). Если

— некоторый полином, то под где черта ставится только над мы будем подразумевать полином, получающийся из путем замены коэффициентов на сопряженные, так что по определению

При таких обозначениях будем иметь (вспомним, что

Применяя указанные обозначения к выражению со фигурирующему в условии (2), получаем:

Правая часть, рассматриваемая как функция комплексной переменной на всей плоскости (это — рациональная функция), не имеет вне окружности у, включая саму окружность, никаких полюсов, кроме полюса в точке ибо со внутри и на у в нуль не обращается (§ 47), и,

следовательно, со не обращается в нуль ни вне, ни на у Значит, мы будем иметь разложение вида

пригодное для в частности, при Таким образом, в нашем случае ряд (3) будет содержать только конечное число членов с положительными степенями а именно будем иметь:

Уравнения (6) сведутся к следующим:

и

формула же (7) приводится к виду:

Таким образом, для определения величин имеем уравнений которые представляют собой действительных уравнений для определения действительных величин где Если уравнения имеют решение, то остальные коэффициенты определятся по формулам (6) и (7), и легко непосредственно показать, что полученные таким образом ряды для будут удовлетворять условиям задачи, если только заданные функции достаточно регулярны, например: имеют вторые производные по удовлетворяющие условиям Дирихле.

Итак, мы получим решение задачи, если система допускает решение.

Однако ясно, что система не может дать определенных значений для всех величин действительно, мы знаем заранее, что мнимая часть величины остается всегда совершенно произвольной. Значит, определитель системы должен быть равен нулю, а из этого, как известно, следует, что для существования решения величины должны удовлетворять некоторому добавочному условию, которое получим, исключив неизвестные из уравнений Оно будет, очевидно, выражать условие равенства нулю главного момента внешних усилий, ибо при этом (и только при этом) добавочном условии наша задача имеет решение. Из теоремы единственности решения следует, что все коэффициенты определятся полностью, если (произвольно) зафиксировать мнимую часть выражения системе будет несколько более подробно сказано в § 84 (замечание 2).

2. Рассмотрим, например, случай, когда контур есть улитка Паскаля. В этом случае можно взять согласно § 48, п. 2 (мы пишем теперь а вместо

Имеем:

Значит, в нашем случае

Система сводится к следующей:

Внося значение взятое из второго уравнения, в первое, получаем соотношение

определяющее действительную часть Для возможности решения задачи надо, чтобы мнимая часть равнялась нулю. Легко непосредственно проверить, что это есть условие равенства нулю главного момента внешних усилий.

Полагая для определенности мнимую часть равной нулю, найдем:

и затем все остальные коэффициенты по формулам

и задача решена. Получаемые для ряды легко суммируются и выражаются через интегралы типа Коши, но на этом мы не останавливаемся, так как соответствующие формулы легко получить иным путем (см. § 84).

3. Вернемся к общему случаю, когда не есть полином. Отбросив в разложении

все члены, начиная с получим вместо полином который отображает на круг не заданную область а близкую к ней область которая тем ближе к чем больше Решение задачи для области не представляет, как мы видели, принципиальных затруднений. Упрощение, вносимое заменой полиномом сводится в конечном счете к отбрасыванию в системе (6), (7) всех членов, содержащих при

Мы видели, что в этом случае дело сводится к решению конечного числа линейных уравнений с конечным числом неизвестных коэффициентов, а именно: к решению системы и к вычислению остальных коэффициентов при помощи соотношений (6) и (7). Это есть один из способов приближенного решения бесконечной системы (6), (7), т. е. приближенного решения первоначальной задачи. Если теперь увеличивать беспредельно то область будет стремиться к и найденное приближенное решение будет стремиться к точному, т. е. функции найденные для области будут стремиться к определенным функциям, дающим точное решение для области Это можно строго доказать при известных общих предположениях относительно контура области и относительно функций заданных на контуре

4. Совершенно аналогичные замечания можно сделать по поводу решения второй основной задачи. Эта задача даже проще, так как в случае заданных контурных смещений коэффициент должен определиться вполне и граничные задания не должны подчиняться никаким

добавочным условиям. Значит, система, аналогичная системе будет всегда иметь одно вполне определенное решение.

5. В случае бесконечной области, отображаемой на круг функцией вида

получаются результаты столь же простые, что и для конечной области в рассмотренном выше случае, когда полином. Мы не останавливаемся подробнее на этом, так как в упомянутых случаях (а также в более общих) можно получить эффективные решения иным путем (см. следующие главы).

Способ решения основных задач, изложенный в настоящем параграфе (это изложение воспроизведено без существенных изменений из предыдущих изданий книги), несколько более подробно и с некоторыми интересными добавлениями приведен в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [1], глава VI,