§ 82а. Примеры.

1. Растяжение пластинки с эллиптическим отверстием. Пусть контур отверстия свободен от внешних напряжений и пусть напряженное состояние на бесконечности представляет собой растяжение величины в направлении, составляющем угол а с осью . В этом случае как показывают формулы (10) § 36 (в них надо положить

В нашем случае Поэтому формула (8) § 82 дает:

Функция голоморфна внутри у, за исключением точки где она имеет полюс с главной частью функция голоморфна вне у, кроме точки где она имеет вид Поэтому на основании формул § 70 будем иметь:

Далее, очевидно:

Таким образом, формулы (4) и (5) § 82 дадут:

и, наконец, на основании формул (6), (7) § 82:

наша задача решена

Вычисление компонент напряжения и смещения не представляет никакого труда. Мы ограничимся только вычислением суммы

где на основании предыдущей формулы

Знаменатель последней дроби — действительная величина, равная

Отделяя действительную часть в числителе, получаем:

На границе отверстия Поэтому значения вдоль края отверстия будут даны формулой

эта формула, если не считать обозначений, совпадает с формулой, данной Пёшлем (Poschl [I]).

В случае всестороннего растяжения, когда на бесконечности

получим либо непосредственно, либо налагая два предыдущих решения для

2. Эллиптическое отверстие, край которого подвержен равномерному давлению. В этом случае

где величина давления; следовательно,

Поэтому

Подставляя эти значения в формулы (4), (5) § 82 (мы считаем, что напряжения на бесконечности равны нулю), получаем почти без всяких вычислений:

и задача решена.

При вычислении смещений и напряжений мы ограничимся предельным случаем (т. е. случаем прямолинейной щели; см. рис. 36); вычисление в общем случае также не представляет ни малейших затруднений.

Рис. 36.

Элементарные выкладки, основанные на формулах (7), (9) и (10) § 50, дают:

Пользуясь этим примером, отметим некоторые свойства распределения напряжений и смещений вблизи концов щели, характерные и для более общих случаев

Мы видим прежде всего, что напряжения вблизи концов щели перестают быть ограниченными. Вычислим, например, компоненты напряжения вблизи конца щели, в точках оси расположенных справа от этого конца. Для этих точек и предыдущие формулы дают:

Обозначая через расстояние рассматриваемой точки до конца легко получаем, что при ограниченная величина.

То же самое будет иметь место для точек оси расположенных слева от другого конца

Легко, далее, подсчитать, что смещения остаются ограниченными вблизи концов.

3. Эллиптическое отверстие, край которого подвержен равномерному касательному напряжению В этом случае

Как в предыдущем примере, получаем (считая, что на бесконечности напряжения равны нулю):

4. Эллиптическое отверстие, часть края которого подвержена равномерному давлению.

Рис. 37а.

Рис. 37б.

Рассмотрим теперь случай, когда равномерному давлению подвержена только часть границы (рис. 37а), а напряжения на бесконечности по-прежнему равны нулю.

В этом случае (ср. пример 2) можно взять (начав обход из точки

Если описать весь контур (против часовой стрелки) и вернуться в точку выражение получит приращение, равное

По формуле (8) § 82 имеем:

ибо [см., например, формулу (7) § 78; не забудем, что в упомянутой формуле за направление обхода контура принимается то, которое оставляет область, занятую телом, слева, т. е. в нашем случае — направление вращения часовой стрелки].

Значение многозначной функции а должно быть зафиксировано произвольным образом в какой-нибудь точке (например, в точке соответствующей точке При перемещении по у мы должны изменять а непрерывным образом, так что при полном обходе (против часовой стрелки) всей окружности а приобретет приращение и выражение вернется к прежнему значению; оно будет, следовательно, однозначным и непрерывным на всем контуре.

Теперь остается вычислить функции по формулам (4), (5) § 82. Имеем, обозначая через точку на у, соответствующую точке (рис. 376):

Но

причем под следует подразумевать величину где в — угловое расстояние между точками отсчитываемое от против часовой стрелки; далее:

Остается вычислить интеграл

Проще всего поступить так. Имеем:

Но по формуле Коши для бесконечной области

и

ибо при обходе у увеличивается на Значит,

следовательно

Таким образом, отбрасывая некоторые постоянные слагаемые, будем иметь:

где

Совершенно таким же образом вычисляется после некоторых элементарных выкладок получаем окончательно:

Если загружен весь контур, то

и мы получим простые формулы, выведенные выше непосредственно для этого случая (см. пример 2).

Если, наоборот, уменьшать беспредельно дугу и вместе с тем увеличивать так, чтобы был конечным числом,

получим в пределе случай сосредоточенной нормальной силы, приложенной к точке края отверстия.

Так же очень легко найти непосредственно решение для случая любого числа произвольных сосредоточенных сил, приложенных к точкам контура или к внутренним точкам тела (ср. аналогичное решение для кругового диска).

5. Приближенное решение задачи об изгибе полосы (балки) с эллиптическим отверстием. Функции напряжений

соответствует следующее напряженное состояние:

Если из тела вырезать полосу, ограниченную прямыми то края этой полосы будут свободны от внешних напряжений. На любое поперечное сечение полосы, параллельное оси Оу, будут действовать справа нормальные усилия . Эти усилия статически эквивалентны паре, момент которой

усилия рассчитываются на единицу толщины пластинки (в направлении, перпендикулярном к плоскости Таким образом, наша функция решает задачу об изгибе сплошной полосы (балки) парами сил, приложенными на концах (рис. 38). Функции соответствующие функции будут, как легко проверить, иметь вид:

Рис. 38.

Предположим теперь, что в полосе вырезано эллиптическое отверстие с центром в начале координат.

Мы решим задачу об изгибе такой балки приближенно, заботясь только о том, чтобы края отверстия были свободны от внешних напряжений и чтобы на больших расстояниях от отверстия напряженное состояние стремилось к состоянию (3); таким образом, мы предполагаем, что размеры отверстия малы по сравнению с шириной балки, и будем решать

задачу так, как если бы эллиптическое отверстие находилось в неограниченной пластинке. При этом допущении мы должны будем иметь:

где функции, голоморфные вне эллипса, включая бесконечно удаленную точку.

Будем считать для простоты, что большая ось эллипса направлена по оси балки. Решение в общем случае будет только немногим сложнее. Вводя переменную будем иметь при очевидных обозначениях:

Внося эти значения в граничное условие (2) или (3) § 82, где надо положить увидим, что функции удовлетворяют тому же условию, если вместо или взять соответственно:

Подставляя эти значения в формулы (4), (5) § 82, замечая, что правые части предыдущих формул представляют собой функции, голоморфные внутри у, за исключением точки где они имеют полюсы с главными частями, равными соответственно:

и применяя формулу (4) § 70, получаем сразу:

и задача решена.

Полагая получим решение задачи для кругового отверстия. Полагая получим случай прямолинейной щели; в этом случае, как легко было предвидеть, т. е. продольная щель не оказывает влияния на напряженное состояние.

Так же легко решается задача об изгибе поперечной силой и другие аналогичные задачи.

Ряд таких задач для случаев кругового, эллиптического и некоторых других отверстий (а именно отверстий, ограниченных гипотрохоидами, близкими к правильному треугольнику и квадрату; § 48, п. 4) был решен и подробно исследован М. И. Найманом [1] указанным в этой книге методом. Многие важные с точки зрения приложений задачи были решены Г. Н. Савиным [2], с доведением до удобных вычислительных формул и числовых таблиц, что дало возможность сопоставить некоторые из полученных результатов с экспериментальными данными; детальное изложение дано в монографии того же автора [8]. О работах Г. Н. Савина будет еще сказано ниже (§ 89). Некоторые случаи изгиба полосы (балки) с круговым отверстием были несколько раньше изучены С. Г. Лехницким [2]. Еще раньше Туци (Tuzi [1]) нашел решение задачи чистого изгиба балки с круговым отверстием (это решение получается из приведенного выше нашего решения при

Эксперименты над моделями показали, что решение остается практически достаточно точным и тогда, когда размеры отверстий не малы по сравнению с шириной полосы, достигая 3/5 ширины полосы в случае кругового отверстия (Туци) и 1/3 ширины в случае квадратного отверстия (Г. Н. Савин).

Все упомянутые выше решения — приближенные, основанные на рассмотрении бесконечной плоскости с соответствующим отверстием, как это было сделано нами выше. Имеется также (довольно сложное) точное решение первой основной задачи теории упругости для бесконечной полосы (конечной ширины) с симметрично расположенным круговым отверстием; оно дано в статье Хоуленда и Стевенсона (Howland a. Stevenson [1]).