§ 72. Продолжение.

Для облегчения вычисления интегралов типа Коши, взятых по бесконечной прямой можно привести ряд формул, вполне аналогичных формулам § 70. Мы ограничимся выводом простейших из этих формул, которые читатель легко сможет обобщить сам.

I. Пусть обозначает функцию, голоморфную непрерывную в включая бесконечно удаленную точку, и пусть Тогда

II. Пусть функция, голоморфная в и непрерывная в включая бесконечно удаленную точку, и пусть Тогда

То обстоятельство, что функция предполагается непрерывной в (или в и при можно выразить так):

Формулы (1) и (2) можно назвать формулами Коши соответственно для областей

Докажем, например, формулу (1). Опишем из О, как из центра, окружность настолько большого радиуса чтобы точка z попала внутрь этой окружности. Рассмотрим замкнутый контур состоящий из отрезка действительной оси, заключенного в окружности, и из той полуокружности, которая находится в положительное направление на выберем так, чтобы часть проходилась в направлении Так как по предположению точка z заключена внутри то на основании формулы Коши имеем:

где у — полуокружность, входящая в контур интегрирования.

Второй интеграл правой части, как показывают самые элементарные рассуждения, стремится при в силу формулы (3) к величине

следовательно, и первое слагаемое стремится при к определенному пределу, а именно к пределу а. Но предел

и есть по определению главное значение интеграла

Таким образом, формула (1) доказана. Заметим, что одновременно доказано существование главного значения предыдущего интеграла, что не очевидно заранее, так как в нашем случае функция подчинена условию о (1), а не условию при котором было доказано раньше существование главного значения.

Совершенно аналогично доказываются и другие приведенные выше формулы.