§ 127а. Пример.
Решение основной смешанной задачи для плоскости с эллиптическим отверстием. Применяя конформное отображение на круг 
будем иметь в этом случае при обозначениях § 48, п. 5:
формулы (7) и (8) § 125 принимают в нашем случае вид: 
формулы же (17), (18) § 125 напишутся так:
Будем считать для простоты, что 
т. е. что контур 
отверстия разделен на две части 
из которых вторая свободна от внешних напряжений, а на первой заданы смещения.
Тогда, обозначая через 
точки окружности у, соответствующие точкам 
эллипса, будем иметь:
Положим:
где 
— аргумент середины дуги 
а 
— центральный угол, соответствующий этой дуге.
При больших 
будем иметь:
где
Легко далее проверить, что
так что при малых 
где
Формула (2) показывает, что функция 
должна быть голоморфна вне у, включая бесконечно удаленную точку; далее, так как функция 
голоморфна внутри у, то 
имеет полюс не выше второго порядка при 
Поэтому согласно формуле (7) § 127
где 
постоянные, подлежащие определению.
Постоянные 
определяются сразу из условия (4); действительно, на основании формул (13) и 
главная часть полюса в точке 
функции 
равна
откуда путем сравнения с формулой (4) выводим:
из этих формул получаются значения для 
которые мы не выписываем.
Коэффициенты же 
определятся при помощи условия (5). Для того, чтобы его выразить, найдем главную часть полюса при 
функции 
определяемой формулой (3). Простые вычисления показывают, что эта главная часть равна
Сравнивая с формулой (5) и учитывая первое соотношение (14), получаем, переходя к сопряженным значениям:
Таким образом, все постоянные определены, и задача решена. При 
получим решение для бесконечной плоскости с круговым отверстием. Этот случай был непосредственно рассмотрен нами в § 123 
.
