§ 22. Уравнения в компонентах напряжения.
Часто, однако, гораздо удобнее иметь дело с уравнениями, содержащими только напряжения. Не надо думать, что при этом можно ограничиться уравнениями
которые мы называли «уравнениями равновесия».
Действительно, если величины 
удовлетворяют предыдущим уравнениям, это еще не значит, что они выражают некоторое возможное в действительности напряженное состояние, а именно: необходимо еще, чтобы можно было найти смещения 
которые связаны с этими напряжениями соотношениями (2) § 20. А для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы компоненты деформации, данные формулами (18) § 19, которые мы теперь перепишем так:
где для краткости положено: 
удовлетворяли условиям совместимости Сен-Венана [§ 15, формулы (6)].
Подставляя значения (2) в формулы (6) § 15, после некоторых упрощений из формул первой строки получаем соответственно:
круговой перестановкой получим еще четыре подобных соотношения, соответствующих остальным условиям совместимости.
Уравнения (3) и (4) можно несколько упростить, пользуясь уравнениями (1). Действительно, дифференцируя второе из уравнений (1) по у, а третье по 
и складывая, получаем:
Но на основании первого из уравнений (1)
внося это значение в предыдущую формулу, будем иметь:
а внося найденное выражение в правую часть уравнения (3), получаем после очевидных преобразований:
Наконец, замечая, что 
получаем после простых приведений
Складывая последнее равенство с двумя аналогичными, получаемыми из него круговой перестановкой букв, находим формулу, которая важна сама по себе:
Внося это значение 
в уравнение (а), получаем, наконец:
Это и есть одна из требуемых формул, из которых две аналогичные получим путем круговой перестановки.
Займемся теперь преобразованием соотношения (4). Дифференцируя второе из уравнений (1) по z, третье по у и складывая, получаем:
Складывая это уравнение с уравнением (4), которое можно переписать так:
после очевидных приведений получаем:
Остальные уравнения этого типа получим круговой перестановкой.
Итак, мы видим, что компоненты напряжения должны удовлетворять девяти уравнениям: уравнениям (1), уравнению (6) и двум аналогичным и уравнению (7) и двум аналогичным.
Уравнения (6) и (7) были получены Мичеллом (Michell [1], стр. 112- 113); для случая отсутствия объемных сил эти уравнения были найдены еще раньше Бельтрами (Beltrami) (1892 г.). Поэтому мы будем называть уравнения (6) и (7) и четыре аналогичных, получаемых круговой перестановкой, условиями совместимости Бельтрами — Мичелла.
Из самого приведенного вывода вытекает, что при соблюдении условий (6) и (7) (и аналогичных, получаемых круговой перестановкой) компоненты деформации, соответствующие компонентам напряжения, удовлетворяющим уравнениям равновесия (1), будут удовлетворять условиям совместимости Сен-Венана.
Таким образом, уравнения (1) вместе с уравнениями типа (6) и (7) не только необходимы, но и достаточны.
Некоторая оговорка нужна только в случае многосвязного тела, когда смещения, соответствующие компонентам напряжения, удовлетворяющим всем перечисленным условиям, могут оказаться многозначными. В этом случае надо либо поставить дополнительно условие однозначности смещений, либо допускать существование многозначных смещений, чему, как было уже сказано, можно приписать определенный физический смысл.
