§ 123. Основная смешанная задача для области, ограниченной окружностью.

Эту задачу мы еще не решали.

Пусть заданные дуги и окружности обозначенные так, что, описывая окружность против часовой стрелки, мы встречаем концы в последовательности Совокупность этих дуг мы обозначим через так что

а остальную часть окружности — через

Пусть на заданы компоненты смещения, а на компоненты напряжения.

Так как решение задачи для случая, когда внешние напряжения заданы вдоль всей границы, нами уже получено, то мы можем свести рассматриваемую смешанную задачу к случаю, когда на участках заданы смещения, а остальная часть границы свободна от внешних напряжений.

1. Решение смешанной задачи для круга. Рассмотрим сперва случай, когда область, занятая телом, есть круг, ограниченный окружностью

Тогда граничное условие принимает вид:

где заданная на функция. Мы будем предполагать, что производная этой функции удовлетворяет условию

На основании формулы (15) § 121 легко получаем из условия (1):

где

Условие же (2) сводится, как уже было замечено выше, к условию на выражающему, что функция голоморфна на всей плоскости, разрезанной вдоль

Таким образом, задача определения сводится к нахождению ограниченного на бесконечности решения задачи, рассмотренной нами в § 110.

В нашем случае постоянная, обозначенная в § 110 через равна а функция

Согласно формуле (5) § 110

т. е.

где

Поэтому в нашем случае согласно формуле (2) § 110

где под подразумевается ветвь, такая, что при больших

Применяя теперь формулу (18) § 110 и принимая во внимание, что функция должна быть ограничена на бесконечности, получаем:

где полином степени не выше

Остается определить постоянные так, чтобы были удовлетворены все требования, вытекающие из постановки исходной задачи. Во-первых, следует удовлетворить условиям (12) § 121, а во-вторых, требованию, чтобы выполнялось граничное условие (1), а не только условие (3), полученное из предыдущего дифференцированием по Последнее можно заменить требованием, чтобы условие (1) выполнялось с точностью до постоянной, одной и той же для всех ибо тогда можно удовлетворить условию (1) и точно за счет подбора произвольной постоянной в правой части формулы (3) § 121. Легко видеть, что последнее требование может быть выражено равенствами:

где под следует подразумевать выражения, получаемые из формулы (8). Так как на дугах имеем то предыдущие условия дают:

где

Итак, мы получили линейных уравнений относительно Остается удовлетворить условиям (12) § 121. Легко показать, что второе из этих условий есть следствие уже полученных условий (11). Действительно, из условий (11), эквивалентных условиям (10), следует, как легко видеть, что

Но вследствие того, что голоморфна в интеграл от первого слагаемого равен нулю; следовательно,

а это как раз и означает, что коэффициент в разложении по убывающим степеням z вблизи бесконечно удаленной точки равен нулю.

Нам, таким образом, остается выразить первое из условий (12) § 121, которое можно записать и так:

откуда следует на основании формулы (8):

В конечном счете мы имеем линейных уравнений (11) и (14) для определения постоянных Со, или, лучше сказать, систему линейных уравнений для определения действительных и мнимых частей этих постоянных.

Остается показать, что полученная система всегда разрешима. Для этого в свою очередь достаточно показать, что однородная система, получающаяся при не имеет решений, кроме Это же последнее есть простое следствие из теоремы о единственности решения смешанной задачи.

2. Решение смешанной задачи для плоскости с круговым отверстием получается совершенно аналогично предыдущему В этом случае граничные условия принимают вид:

из условия (15), на основании формулы (15) § 121, следует:

а из условия (16): на как и в предыдущем случае.

На этот раз требуется найти решение ограниченное на бесконечности (как и в предыдущем случае) и имеющее в точке полюс не выше второго порядка, как то следует из формулы (13) § 121.

Мы будем считать заданными значения компонент напряжения и вращения на бесконечности, т. е. значения постоянных , входящих в формулы (5), (6) § 121, а также главный вектор внешних усилий, приложенных к

Для решения задачи (17) применимы, как и в предыдущем случае, результаты § 110. На этот раз и

т. е.

где обозначает то же, что и выше:

В нашем случае

где подразумевается ветвь, удовлетворяющая условию (7); общее решение задачи (17), удовлетворяющее указанным выше условиям, дается формулой [§ 110, формула (26)]

где полином степени не выше постоянные. Эти постоянные сразу определяются из условия [§ 121, формула (13)], что вблизи точки

Так же сразу определяются коэффициенты при полинома из условия [§ 121, формула (5)], что при больших

в частности Остальные коэффициенты определяются из условий, вполне аналогичных условиям (10). Легко видеть, что требование однозначности смещений будет при этом удовлетворено.

Замечание. Мы считали, что часть границы свободна от внешних напряжений. Легко, однако, сразу написать решение и в случае, когда эта часть подвержена действию произвольно заданной нагрузки; для этого достаточно воспользоваться сказанным в § 111 (ср. замечание в конце § 114).