VIII. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
В последние годы методы решения плоских задач, основанные на использовании аппарата комплексного переменного, стали применяться к пространственным осесимметричным задачам определенного класса. Возможность такого применения появилась благодаря зависимостям между осесимметричными и плоскими состояниями упругого тела, которые удалось установить в явной форме при некоторых условиях.
§ 169. Метод суперпозиции плоских решений.
Из данного состояния плоской деформации сплошного цилиндра можно при дополнительном условии симметрии упругих полей получить некоторое осесимметричное состояние. Достигается это путем суперпозиции плоских решений, осуществляемой вращением плоского деформированного состояния, эквивалентной с аналитической точки зрения некоторому интегральному преобразованию. Обратный переход от осесимметричного состояния к вспомогательному плоскому осуществляется посредством некоторого линейного перемещения данного осесимметричного состояния.
Установление этих связей в аналитической форме позволяет (А. Я. Александров; см. ниже) выразить напряжения и смещения осесимметричного состояния через аналитические функции комплексного переменного, а это дает в свою очередь возможность свести осесимметричные задачи упругого равновесия к граничным задачам теории аналитических функций. К этим последним задачам в ряде случаев можно применить метод степенных рядов. При помощи этих же комплексных представлений осесимметричного напряженного состояния удается в частных случаях, например для шара и пространства с шаровой полостью, получить решение основных задач в замкнутой форме (в квадратурах). С этими и некоторыми другими результатами применения теории аналитических функций к пространственным задачам теории упругости можно познакомиться по работам А. Я. Александрова [1-6], А. Я. Александрова и В. С. Вольперта [1], А. Я. Александрова и Ю. И. Соловьева [1 ], В. И. Моссаковского [1] и Н. А. Ростовцева [1, 2]. Укажем еще на работу М. Я. Беленького [2], где используется идея Вебера (Weber [1]) о преобразовании функции Эри в функцию напряжения для осесимметричного случая.
