II. О ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 73. Некоторые общие предложения.

Пусть простой замкнутый контур, конечная и бесконечная части плоскости, разграниченные контуром пусть положительным направлением на считается то, которое оставляет слева. Контур не причисляется ни к ни к

Пусть, далее,

непрерывная функция, заданная на

Поставим себе вопрос: является ли граничным значением некоторой функции голоморфной в здесь, разумеется, речь идет о граничных значениях при стремлении из

Легко видеть, что если непрерывная функция задана на произвольно, то этого, вообще говоря, не будет. В самом деле, известно, что достаточно задать на граничное значение гармонической в функции для того, чтобы эта функция была вполне определена но тогда будет вполне определена и сопряженная с ней функция если не считать произвольного постоянного слагаемого, а следовательно, и граничное значение этой функции, если оно вообще существует. Ясно, что можно поменять ролями

Следовательно, если потребовать, чтобы функция была граничным значением некоторой функции, голоморфной в то из двух действительных функций можно задать произвольно лишь одну.

Поэтому представляет большой интерес найти необходимое и достаточное условие того, чтобы непрерывная функция заданная на представляла собой граничное значение некоторой функции

голоморфной в аналогичный вопрос возникает в отношении области На этот вопрос дают ответ следующие предложения:

I. Для того чтобы заданная на непрерывная функция была граничным значением некоторой функции, голоморфной в необходимо и достаточно, чтобы

II. Для того чтобы заданная на непрерывная функция была граничным значением некоторой функции, голоморфной в (включая бесконечно удаленную точку), необходимо и достаточно, чтобы

где а — некоторая постоянная-, эта постоянная равна значению на бесконечности упомянутой голоморфной функции.

На основании сказанного в предыдущих параграфах эти предложения почти очевидны. Действительно, если граничное значение некоторой функции, голоморфной в то условие (1) имеет место, как это следует из формулы (2) § 70; следовательно, условие (1) необходимо. Оно также достаточно. Действительно, будем считать, что оно соблюдено, и положим:

Если принять во внимание, что при а следовательно, на то на основании формулы (4) § 68 и замечания 2 к § 68 получим:

т. е. при соблюдении условия (1) функция представляет собой граничное значение функции определяемой формулой (3).

Совершенно аналогично доказывается и второе предложение. Если граничное значение функции, голоморфной в то условие (2) необходимо в силу формулы (2) § 70; оно также достаточно, так как при его выполнении функция

голоморфна в и принимает граничное значение это последнее следует из (2), из формулы (4) § 68 и замечания 2 к § 68.

До сих пор мы предполагали, что функция лишь непрерывна. Если предположить, что, кроме этого, функция удовлетворяет на условию (§ 65), то условиям (1) и (2) можно придать иной вид, во многих отношениях весьма удобный. А именно, подразумевая под любую точку на и переходя в формулах (1) и (2) к пределу

соответственно из и из на основании формул Сохоцкого — Племеля (§ 68) получаем соответственно:

и

(для всех на Эти условия эквивалентны соответственно условиям и (2). В самом деле, условие (1) выражает, что граничное значение функции

голоморфной в равно нулю на всей границе области следовательно, всюду в имеет место а это и есть условие (1). Аналогично для условий (2) и (2). Условия (1), (2) были указаны Племелем (Plemelj [1]).

До сих пор мы предполагали, что простой замкнутый контур. Рассмотрим теперь случай, когда бесконечная прямая, которую мы примем за действительную ось. Будем, как в § 71, обозначать соответственно через и верхнюю и нижнюю полуплоскости. Аналогично предыдущему, легко доказать следующие предложения.

Пусть обозначает функцию, непрерывную на и такую, что при больших

где постоянные,

Тогда будем иметь следующие предложения:

III. Для того чтобы функция была граничным значением функции, голоморфной в и непрерывной в (включая точку необходимо и достаточно, чтобы

IV. Для того чтобы функция была граничным значением функции, голоморфной в и непрерывной в (включая точку необходимо и достаточно, чтобы

Если, кроме того, функция удовлетворяет на условию включая бесконечно удаленную точку [см. § 71, формула (14)], то

условия (6) и (7) можно соответственно заменить следующими:

Доказательство этих предложений мы предоставляем читателю.